Der Variationskoeffizient (oft mit \(v\) bezeichnet) ist eine Kennzahl, die die Streuung eines Merkmals beschreibt. Er wird berechnet indem man die Standardabweichung der Daten durch ihren Mittelwert teilt:
\[ v = \frac{s}{\bar{x}} \]
Im eBook-Shop gibt es Klausuraufgaben zu diesem Thema!Der Vorteil des Variationskoeffizienten \(v\) gegenüber der Standardabweichung \(s\) ist, dass dem Variationskoeffizient egal ist, auf welcher Skala die Daten gemessen wurden. Misst man etwa die Körpergrösse von fünf Personen in Zentimeter, kommt ein anderer Mittelwert raus (z.B. 175) als wenn man die Körpergrösse in Meter misst (dann sind es z.B. 1,75). Dasselbe passiert mit der Varianz und der Standardabweichung, aber nicht mit dem Variationskoeffizenten.
Dazu können wir uns beispielhaft die gerade erwähnten Daten anschauen, die Körpergrösse von fünf Personen in Zentimetern und in Metern:
| Person \(i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Körpergrösse in Zentimeter | 160 | 173 | 177 | 164 | 182 |
| Körpergrösse in Meter | 1.60 | 1.73 | 1.77 | 1.64 | 1.82 |
Beispielaufgabe
Berechne für beide Datenreihen, die Körpergrösse in Zentimeter sowie in Meter, die folgenden Kennzahlen:
- Mittelwert \(\bar{x}\)
- Varianz \(s^2\)
- Standardabweichung \(s\)
- Variationskoeffizient \(v\)
Eine Anleitung zum Berechnen der ersten drei Werte findest du in den entsprechenden Artikeln. Den Variationskoeffizienten \(v\) erhältst du wie oben erklärt, indem du die Standardabweichung \(s\) durch den Mittelwert \(\bar{x}\) teilst.
Zum Nachprüfen: Die folgenden Kennzahlen sind richtig:
| in Zentimeter | in Meter | |
|---|---|---|
| Mittelwert \(\bar{x}\) | 171.2 | 1.712 |
| Varianz \(s^2\) | 82.7 | 0.00827 |
| Standardabweichung \(s\) | 9.09 | 0.0909 |
| Variationskoeffizient \(v\) | 0.0531 | 0.0531 |
Es fällt hier auf, dass der Mittelwert, die Varianz und die Standardabweichung jeweils andere Werte annehmen, aber der Variationskoeffizient \(v\) für beide Daten gleich ist. Aus diesem Grund ist der Variationskoeffizient eine geeignete Maßzahl, wenn man die Streuung eines Merkmals unabhängig von ihrer Skalierung beschreiben möchte.
Man kann auch den Variationskoeffizienten von zwei oder mehr Merkmalen mit unterschiedlicher Skalierung vergleichen, z.B. die Körpergröße und das Gewicht von Studenten, oder die Population der USA und Deutschland. Wo normalerweise die Standardabweichung eines Merkmals mit großem Mittelwert (z.B. die Bevölkerung der USA) automatisch dazu tendiert, größer zu sein, ist der Variationskoeffizient nun vergleichbar.
Hallo,
Macht es Sinn einen VK für nur zwei Werte zu ermitteln oder erst ab drei?
Vielen Dank schon mal.
Also, mathematisch möglich ist es ab zwei Werten. Sinn macht es in meinen Augen erst bei einer „richtigen“ Stichprobengröße, irgendwo ab 10 bis 30 Beobachtungen 🙂
Also wenn ich jetzt eine Messreihe im Duplikat habe. Ich setzte also zweimal das gleiche an und messe die optische Dichte. Dann möchte ich schauen in wie weit die beiden Werte schwanke/abweichen. Da würde es dann keinen Sinn machen?
Eher die Abweichung berechenen?
Wie wird der Variations-Koeffizient ermittelt, wenn ein Durchschnitt den Wert null hat ?
Besten Dank und Gruss
Hallo Martin,
dann ist der Variationskoeffizient nicht definiert. Am besten wird er verwendet in Situationen mit physikalischen Messgrößen, wo die „Null“ eine Bedeutung hat, z.B. bei Körpergröße, Gewicht, oder Geldmengen. Idealerweise ist die Skala dann nur positiv, es können also keine negativen Werte auftreten.
Falls der Mittelwert wirklich exakt Null ist, müsste man stattdessen einfach „nur“ die Standardabweichung verwenden.
Hallo Alex
ich danke dir für die prompte und kompetente Antwort.
Besten Dank und Gruss aus Winterthur
Hallo zusammen,
ich habe eine kurze Frage:
Gibt es einen allgemein anerkannten Wert zur Einteilung des Variationskoeffizienten?
Also kann man sagen ab bspw. xxx % handelt es sich um eine hohe Streuung? Oder unter yyy % ist noch alles im Rahmen?
Ich hoffe, ihr könnt mir schnell weiterhelfen.
Danke und Gruss
Karline
Hallo Karline,
dazu gibt es keine Faustregeln. Das kommt immer auf deinen Datensatz an, und die genaue fachliche Frage dahinter.
Viele Grüße,
Alex
Okay, schade.
Finde das (noch) sehr schwer einzuschätzen.
Danke dennoch – Karline
Hi,
in dem Buch https://books.google.de/books?id=hk3NpBcoJScC&printsec=frontcover&dq=eckstein+statistik&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwiRtN-zxpTnAhWcQEEAHTJBBysQ6AEIRDAD#v=onepage&q=eckstein%20statistik&f=false auf Seite 55 steht für die Interpretation des Variationskoeffizienten, dass bei einem Wert > 0,5 der Mittelwert kein geeigneter Repräsentant seiner Einzelwerte ist. Im Bsp. oben ist das also nicht der Fall, die Streuung ist sehr gering.
Super Erklärung!
…aber was sagt genau der Variationskoeffizient aus? Ein Beispiel:
VK für Landliebe: 0,6 – VK für Samsung 0,3 –> welches streut jetzt mehr?
Zweite Frage: was genau bedeutet der Wert? (0,6 % Abweichung vom Mittelwert oder wie?)
Großes Danke im Voraus! 🙂
Das mit dem höheren VK streut mehr 🙂
Man kann den Wert nicht einfach in Worte fassen. Es ist wirklich einfach eine Zahl, die man dann mit anderen VKs vergleichen kann.
Du schreibst doch selbst: „Den Variationskoeffizienten v erhältst du wie oben erklärt, indem du die Standardabweichung s durch den Mittelwert x¯ teilst.“
Der VK ist die Standardabweichung, ausgedrückt in Prozent. Die Standardabweichung liegt in eurem Beispiel oben 5.331% um den Mittelwert.
Hi Alex,
aber warum teilst du denn durch (n-1), also n=4 und nicht n=n, also 5 ??
Wäre sehr dankbar über eine schnelle Antwort.
Dazu habe ich im Artikel zur Standardabweichung etwas geschrieben.
Hoffe das hilft!
Gruß,
Alex
Hallo, erst mal vielen Dank für die gute Erklärung 🙂
nur bei der Rechnung von der Varianz komme ich nicht auf das selbe Ergebnis, verstehe nicht was ich falsch gemacht habe 🙁
Bitte um Hilfe !!!
Meine Rechnung für die Varianz (cm) :
((160-171,2)²+(173-171,2)²+(177-171,2)²+(164-171,2)²+(182-171,2)²) / 171,2
=1.93
Hi Sara,
du musst am Ende durch \(n-1\) teilen, nicht durch \(\bar{x}\). Also das allerletzte 171,2 ersetzen durch 4
Super, danke sehr auch für die schnelle Antwort 🙂
Hallo,
wieso muss man denn durch 4 teilen? Es sind doch fünf Personen, von denen Werte ermittelt wurden.
durch 5 geteilt kommt sx^2=66,16
und sx= 8,13 raus bei mir..
Dazu habe ich im Artikel zur Standardabweichung etwas geschrieben.
Hoffe das hilft!
Gruß,
Alex