Konfidenzintervall für den Erwartungswert

Das KI für den Erwartungswert folgt einem ähnlichen Prinzip wie das bereits besprochene KI für einen Anteilswert:

$$\text{Parameter}\pm \text{Quantil}\cdot \sqrt{\frac{\text{Varianz}}{n}}$$

In den meisten Fällen in der Realität ist die wahre Varianz nicht bekannt, und wird auch einfach aus der Stichprobe geschätzt. In einer Klausur wird der Fall, dass die Varianz ${\sigma }^2$ bekannt ist, allerdings noch gefordert – daher betrachten wir ihn hier extra.

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Die Formeln für die Konfidenzintervalle der beiden Varianten unterscheiden sich nur minimal:

• Wenn die wahre Varianz ${\sigma }^2$ bekannt ist, nehmen wir in der Formel direkt die wahre Varianz ${\sigma }^2$ – anderenfalls schätzen wir sie durch die Stichprobenvarianz $s^2$ und nehmen diesen Wert.
• Wenn die wahre Varianz ${\sigma }^2$ bekannt ist, dann nehmen wir das Quantil der Normalverteilung – anderenfalls nehmen wir das Quantil der t-Verteilung mit $n-1$ Freiheitsgraden.
  • Wenn wir allerdings eine ausreichend große Stichprobe haben, z.B. $n>30$, dann können wir doch wieder das Quantil der Normalverteilung verwenden.

Sehen wir uns die Formeln der beiden KIs also an:

KI für den Erwartungswert $\mu$, falls Varianz ${\sigma }^2$ bekannt

Für das Konfidenzintervall brauchen wir die folgenden Werte:

• Die Stichprobengröße $n$
• Den Mittelwert der Stichprobe $\overline{x}$
• Die wahre Varianz ${\sigma }^2$
  • In der Formel brauchen wir allerdings ihre Wurzel, die Standardabweichung, also $\sigma$. Diese beiden Werte zu verwechseln, ist ein häufiger Fehler in der Klausur.
• Die gewünschte Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$
  • Damit berechnen wir das passende $1-\frac{\alpha }{2}$-Quantil der Normalverteilung, das wir in der Formel brauchen – also den Wert $z_{1-\frac{\alpha }{2}}$. Für eine gewünschte Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% brauchen wir also später das 97,5%-Quantil (das ist 1.96, wer es nachprüfen möchte).

Die untere Grenze des Intervalls ist dann:

$$u=\overline{x}–z_{1-\frac{\alpha }{2}}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

Für die obere Grenze ersetzen wir einfach das erste Minus durch ein Plus:

$$o=\overline{x}+z_{1-\frac{\alpha }{2}}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

Insgesamt lautet das Konfidenzintervall also

$$[\overline{x}–z_{1-\frac{\alpha }{2}}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}},\overline{x}+z_{1-\frac{\alpha }{2}}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}]$$

Oder, in Kurzschreibweise mit dem $\pm$ Zeichen:

$$\overline{x}\pm z_{1-\frac{\alpha }{2}}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

Beispielaufgabe

Der Intelligenzquotient (IQ) ist so erstellt worden, dass er in der Gesamtbevölkerung normalverteilt ist mit einem Mittelwert von 100 und einer Standardabweichung von 15 (d.h. einer Varianz von ${15}^2=225$. Wir haben nun eine Stichprobe von $n=35$ Social-Media-Powerusern, die täglich mehr als 3 Stunden in sozialen Netzen unterwegs sind. Ich erspare euch die „Rohdaten“, d.h. die einzelnen 35 IQs, und liefere direkt den Mittelwert der Stichprobe:

• $\overline{x}=93.523$

Wir können die Varianz in der Gruppe als bekannt annehmen, nämlich als ${\sigma }^2=225$. Berechne nun ein 95%-Konfidenzintervall (d.h. $\alpha =0.05$) für den mittleren IQ in der Grundgesamtheit aller Social-Media-Poweruser.

Die Formel dafür kennen wir:

$$\overline{x}\pm z_{1-\frac{\alpha }{2}}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

Dort tragen wir jetzt einfach alle geforderten Werte nacheinander ein. Manche müssen wir berechnen, andere aus einer Tabelle ablesen, und wieder andere einfach einsetzen:

• $\overline{x}=93.523$, das steht in der Aufgabe
• $\alpha =0.05$, denn da wir ein 95%-KI brauchen, ist die Irrtumswahrscheinlichkeit 5%, also 0.05.
• $z_{1-\frac{\alpha }{2}}$ ist $z_{0.975}$, also das 97,5%-Quantil der Normalverteilung. Aus der Verteilungstabelle lesen wir ab, dass das 1.96 ist.
• $\sigma$ ist die Standardabweichung (Vorsicht: Die Wurzel aus der Varianz! Nicht verwechseln!). Bei uns ist $\sigma =\sqrt{{\sigma }^2}=\sqrt{225}=15$
• $\sqrt{n}=\sqrt{35}=5.916$

Damit können wir das Intervall berechnen:

$$93.523\pm 1.96\cdot \frac{15}{5.916}$$

Das gesuchte Konfidenzintervall ist also $93.523\pm 4.97$, also als Intervall geschrieben $[88.553,98.493]$. Der mittlere IQ unter Social-Media-Powerusern liegt also wahrscheinlich in diesem Bereich.

KI für den Erwartungswert $\mu$, falls Varianz ${\sigma }^2$ unbekannt

Wie bereits erwähnt: Das Prinzip ist hier dasselbe, das KI wird berechnet durch

$$\text{Parameter}\pm \text{Quantil}\cdot \sqrt{\frac{\text{Varianz}}{n}}$$

Die einzigen beiden Unterschiede sind, dass statt dem $z$-Quantil der Normalverteilung nun das der t-Verteilung verwendet wird, und dass nicht mehr die wahre Standardabweichung $\sigma$ verwendet wird (da sie ja jetzt unbekannt ist), sondern die Stichprobenvarianz $s^2$, bzw. ihre Wurzel $s$ verwendet wird. Diese berechnen wir auf die bekannte Art und Weise: $s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$.

Die Formel für das Konfidenzintervall ist von der Bedeutung her identisch mit dem Fall, wenn die wahre Varianz ${\sigma }^2$ bekannt ist, nur mit den oben besprochenen Unterschieden:

$$\overline{x}\pm t_{1-\frac{\alpha }{2}}(n-1)\cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$

Die Bezeichnung $t_{1-\frac{\alpha }{2}}(n-1)$ sieht vielleicht etwas furchteinflößend aus, aber sie ist ganz einfach das $1-\frac{\alpha }{2}$-Quantil der t-Verteilung mit $n-1$ Freiheitsgraden – das ist am Ende nur eine harmlose Dezimalzahl. Ihren Wert findet man in der Tabelle der t-Verteilung.

Anmerkung: Falls die Stichprobe mehr als 30 Beobachtungen hat, kann man im Normalfall doch wieder das $z$-Quantil der Normalverteilung (statt dem Quantil der t-Verteilung) verwenden.

Beispielaufgabe

Wir interessieren uns für den mittleren Intelligenzquotienten (IQ) in einer Förderschule für Hochbegabte. In der breiten Bevölkerung ist zwar bekannt, dass der IQ normalverteilt ist mit $\mu =100$ und ${\sigma }^2=225$, aber in dieser Untergruppe kann man weder vom selben Mittelwert noch von derselben Varianz ausgehen. Wir erheben also durch einen IQ-Test die Zahlen für eine Stichprobe von $n=22$ Hochbegabten, und erhalten:

• $\overline{x}=134.32$
• $s^2=98.83$

Berechne nun ein 95%-Konfidenzintervall für den mittleren IQ von Hochbegabten in Förderklassen.

Wir verwenden ganz einfach die Formel für das KI, und setzen alle Werte nacheinander ein:

$$\overline{x}\pm t_{1-\frac{\alpha }{2}}(n-1)\cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$

Die Werte, die wir brauchen sind:

• $\overline{x}=134.32$, das steht direkt im Aufgabentext
• $\alpha =0.05$, denn da wir ein 95%-KI brauchen, ist die Irrtumswahrscheinlichkeit 5%, also 0.05.
• $t_{1-\frac{\alpha }{2}}(n-1)$ ist das $1-\frac{\alpha }{2}$-Quantil, also das 97,5%-Quantil der t-Verteilung mit $n-1$, also mit 21 Freiheitsgraden. In der Verteilungstabelle lesen wir ab, dass dieser Wert $t_{0.975}(21)=2.080$ ist
• $s=\sqrt{s^2}=\sqrt{98.83}=9.941$
• $\sqrt{n}=\sqrt{22}=4.69$

Wir setzen also diese Werte ein und rechnen aus:

$$134.32\pm 2.080\cdot \frac{9.941}{4.69}$$

Das gesuchte Konfidenzintervall ist also $134.32\pm 4.41$, also in Intervallschreibweise $[129.91,138.73]$. Der IQ unter Förderschülern liegt also ziemlich wahrscheinlich in diesem Bereich.