Diskrete Gleichverteilung

Die diskrete Gleichverteilung liegt vor, wenn eine Zufallsvariable

• diskret ist, also das Experiment nur eine endliche Zahl an möglichen Ergebnissen hat, und
• jedes mögliche Ergebnis mit derselben Wahrscheinlichkeit auftritt.

Zwei schöne Beispiele hierfür sind der Münzwurf mit \(n=2\) möglichen Ergebnissen, Kopf oder Zahl, wo jedes mit der gleichen Wahrscheinlichkeit, \(\frac{1}{2}\), auftritt, und das Rouletterad mit \(n=37\) möglichen Ergebnissen (der Null und die Zahlen 1 bis 36), wo jede Zahl mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{37}\) auftritt.

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Parameter

Die möglichen Ergebnisse werden bezeichnet mit den Variablen \(x_1, x_2, \ldots, x_n\). Für das Beispiel des Münzwurfs können wir also „Kopf“ mit 1 kodieren, und „Zahl“ mit 2, und erhalten die möglichen Ergebnisse \(x_1=1, x_2=2\) (wir müssen diese Ereignisse in Zahlen umwandeln, der Grund ist im Artikel Was sind Zufallsvariablen? ganz oben erklärt.). Für das Roulette-Beispiel erhalten wir \(x_1=0, x_2=1, x_3=2, \ldots, x_{37}=36\).

Wir beschränken uns hier aber auf einen Spezialfall, nämlich Zufallsexperimente, deren Ergebnis jede Ganzzahl zwischen \(a\) und \(b\) sein kann. Beim Münzwurf haben wir also eine Gleichverteilung mit den zwei Parametern \(a=1\) und \(b=2\), und beim Roulettespiel eine Gleichverteilung mit \(a=0\) und \(b=36\). Mit dieser Art der Modellierung können wir die allermeisten Situationen modellieren, bis auf manche Sonderfälle, zum Beispiel das Punkteergebnis eines Fußballspiels, in dem ein Verein entweder 0, 1, oder 3 Punkte bekommt.

Träger

Der Träger \(\mathcal{T}\) der diskreten Gleichverteilung sind die einzelnen Ausprägungen \({x_1, x_2, \ldots, x_n}\), also alle ganzen Zahlen zwischen \(a\) und \(b\). Beim Roulettespiel sind das z.B. die Zahlen \({0, 1, 2, \ldots, 36}\). Andere Ergebnisse sind in diesem Beispiel nicht möglich: Das Rouletterad kann zum Beispiel keine 52, oder keine 3,5 zeigen.

Dichte

Die Dichtefunktion muss in zwei Teile aufgeteilt werden. Beim Roulettespiel ist z.B. die Wahrscheinlichkeit, dass die 17 erscheint, \(\mathbb{P}(X=17) = \frac{1}{37}\), aber die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis 1500 ist, \(\mathbb{P}(X=1500) = 0\). Die Dichte für das Roulettespiel ist also

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{37}, & x \in \{0, 1, \ldots , 36\} \\ 0, & \text{sonst} \end{cases} \]

Im Allgemeinen haben wir \(n\) verschiedene Ergebnisse für eine Zufallsvariable, die wir mit \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) bezeichnen (also wieder alle Zahlen von \(a\) bis \(b\), den Träger). Hier ist die Dichte dann

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{n}, & x \in \{ a, a+1, \ldots , b \} \\ 0, & \text{sonst} \end{cases} \]

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion der diskreten Gleichverteilung lautet wie folgt:

\[ F(x) = \begin{cases} 0, & x < a \\ \frac{\lfloor x \rfloor – a + 1}{b-a+1}, & x \in [a,b]\\ 1, & x > b \end{cases}\]

„Links“ von \(a\) ist die Verteilungsfunktion also immer 0, und „rechts“ von \(b\) ist sie immer 1. Mit \(\lfloor x \rfloor\) ist hier die Abrundung von \(x\) gemeint, also ist z.B. \(\lfloor 3.4 \rfloor = 3\) und \(\lfloor 5 \rfloor = 5\).

Möchten wir für das Roulettespiel z.B. bestimmen, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Zahl kleiner oder gleich 3.5 kommt, bestimmen wir:

\[ F(3.5) = \frac{\lfloor 3.5 \rfloor – 0 + 1}{36 – 0 + 1} = \frac{4}{37} \]

Versuche, mit dieser Definition für das Beispiel Würfelwurf zu bestimmen:

• \(F(4)\), also die Wahrscheinlichkeit, mit der wir eine Augenzahl würfeln, die kleiner oder gleich 4 ist.
• \(F(4.8)\)
• \(F(0)\)
• \(F(1500)\)

Erwartungswert

Der Erwartungswert ist bei der diskreten Gleichverteilung einfach der Mittelwert von \(a\) und \(b\):

\[ \mathbb{E}(X) = \frac{a+b}{2} \]

Varianz

Die Varianz dieser Verteilung lautet:

\[ \mathbb{V}(X) = \frac{(b-a+1)^2 – 1}{12} \]

Beispielaufgabe

Schauen wir uns die Zufallsvariable „\(X\) = ein Würfelwurf“ an, und bestimmen für sie

• Träger
• Dichte
• Verteilungsfunktion
• Erwartungswert
• Varianz

Träger

Die Zufallsvariable \(X\) kann nur die Werte 1, 2, 3, 4, 5, oder 6 annehmen. Also ist der Träger \(\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}\).

Dichte

Die Dichte ist, wenn wir die obige Definition anwenden, einfach bestimmt:

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{6}, & x \in \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \\ 0, & \text{sonst} \end{cases} \]

Dichte der diskreten Gleichverteilung beim Experiment „Werfen eines Würfels“. Jedes Ereignis von 1 bis 6 tritt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit \(\mathbb{P}(X=i) = \frac{1}{6}\) auf.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ist einfach notierbar als:

\[ F(x) =\begin{cases}0, & x < 1\\ \frac{\lfloor x \rfloor}{6},& 1 \leq x <6\\ 1, & x \geq 6 \end{cases}\]

Erwartungswert

Der Erwartungswert eines Würfelwurfs ist

\[ \mathbb{E}(X) = \frac{1}{2} (6 + 1) = 3.5 \]

Varianz

Auch hier sind wir schnell am Ziel. Die Formel angewendet lautet

\[ \mathbb{V}(X) = \frac{(6-1+1)^2 – 1}{12} = 2.917 \]