Idee

Die \(\chi^2\)-Verteilung wird eigentlich nur für einige Hypothesentests verwendet, insbesondere für den Unabhängigkeitstest für Kontingenztabellen. In der „freien Wildbahn“, also zum Modellieren irgendwelcher erhobenen Daten, trifft man sie quasi nie an. Aus diesem Grund sind viele Details dieser Verteilung (Erwartungswert, Dichte, und Varianz) eher unwichtig – nur die Verteilungsfunktion ist interessant, da mit ihr das 95%-Quantil (die wichtige kritische Schranke für Hypothesentests) bestimmt werden kann.

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Parameter

Die \(\chi^2\)-Verteilung hat einen Parameter, nämlich die Anzahl der Freiheitsgrade, \(df\). Der Wert für die Anzahl der Freiheitsgrade, also \(df\), ist die Anzahl der Beobachtungen, die in diese Zufallsvariable einfließen. Falls man zum Beispiel eine Kreuztabelle einer Umfrage mit 80 Personen analysiert, ist \(df = 80\). Man notiert eine \(\chi^2\)-verteilte Zufallsvariable \(X\) mit \(df\) Freiheitsgraden als

\[ X \sim \chi^2 (df) \]

Dichte- und Verteilungsfunktion der \(\chi^2\)-Verteilung für verschiedene beispielhafte Freiheitsgrade.

Träger

Der Träger der \(\chi^2\)-Verteilung ist \(\mathbb{R}^+\), die positiven reellen Zahlen.

Erwartungswert, Varianz und Dichte

Da mit der \(\chi^2\)-Verteilung eigentlich nie Daten modelliert werden, braucht man eigentlich weder die Dichte, noch den Erwartungswert oder die Varianz kennen. Der Vollständigkeit halber sei sie hier trotzdem genannt: Der Erwartungswert für eine \(\chi^2\)-verteilte Zufallsvariable \(X\) mit \(df\) Freiheitsgraden ist \(\mathbb{E}(X) = df\), und ihre Varianz ist \(\mathbb{V}(X)= 2\cdot df\).

Verteilungsfunktion

Wie oben schon erwähnt, ist für die \(\chi^2\)-Verteilung eigentlich nur die Verteilungsfunktion, und dort auch meistens nur das 95%-Quantil als Spezialfall, interessant.

Die Formel für die Verteilungsfunktion ist sehr aufwändig zu notieren und auszurechnen, weshalb es auch hier eine Verteilungstabelle gibt, an der man die wichtigsten Werte einfach ablesen kann. Auch hier gilt es, einfach ein wenig Übung im Umgang mit der Tabelle zu erhalten, damit man die gewünschten Quantilswerte ohne Zeitverlust und Leichtsinnsfehler richtig und schnell ablesen kann.

Für die \(\chi^2\)-Verteilung gibt es theoretisch, genauso wie bei der \(t\)-Verteilung, auch eine riesige Tabelle für jede mögliche Anzahl an Freiheitsgraden. Daher sind in den Verteilungstabellen nur die wichtigsten paar Quantile aufgeführt. Am häufigsten verwendet wird dabei das 95%-Quantil, da das die kritische Schranke für einen \(\chi^2\)-Test mit Signifikanzniveau \(\alpha=0.05\) ist. In der Tabelle unten ist die Spalte mit dem 95%-Quantil farbig unterlegt.

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Haben wir also einen \(\chi^2\)-Test mit 5 Freiheitsgraden, und möchten die kritische Schranke für ein Signifikanzniveau von \(\alpha=0.05\) finden, sehen wir in der Zeile für 5 und der Spalte für 0.95 (das ist 1-0.05) nach. Die folgende Grafik veranschaulicht den Wert, den wir suchen:

Ablesebeispiel der \(\chi^2\)-Verteilung mit \(df=5\) Freiheitsgraden. Die Dichte (obere Grafik) hat ab der Stelle \(x=11.07\) noch eine Fläche von 5%. Die Verteilungsfunktion (untere Grafik) an der Stelle \(x=11.07\) hat genau den Wert 0.95.

Idee

Die \(t\)-Verteilung wird insbesondere für Hypothesentests und Konfidenzintervalle benötigt. In beiden Situationen interessiert uns nämlich die Verteilung des Stichprobenmittelwerts.

Und falls die wahre Varianz \(\sigma^2\) der Daten nicht bekannt ist, d.h. man stattdessen die Stichprobenvarianz \(s^2\) berechnen muss (und das ist in der Realität quasi immer so), ist der Mittelwert der Stichprobe nämlich nicht normalverteilt, sondern \(t\)-verteilt mit \(n-1\) Freiheitsgraden.

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Wenn ich also aus einer großen Grundgesamtheit (mit Mittelwert 0) für 365 Tage lang jeden Tag eine Stichprobe der Größe \(n=30\) ziehe, und dann den Mittelwert daraus bilde, folgen die so bestimmten 365 Mittelwerte einer \(t\)-Verteilung mit \(n-1=29\) Freiheitsgraden. Das Histogramm dieser 365 Datenpunkte läge also sehr nah an dieser theoretischen \(t\)-Verteilung der Daten.

Es gilt dann:

\[ \begin{align*} T &= \frac{\bar{X} – \mu_0}{s} \sqrt{n} \\ T & \sim t(n-1) \end{align*} \]

Die Standardisierung, d.h. das Subtrahieren von \(\mu_0\) und das Teilen durch \(s\), geschieht aus dem Grund, dass die danach erhaltenen Zahlen auf einer einheitlichen Skala leben (man kann sagen: von etwa -3 bis +3), und man dann nur eine einzige Tabelle drucken muss. Wenn man zum Beispiel mit einem Hypothesentest überprüfen möchte, ob die durchschnittliche Körpergrösse bei Männern 175cm ist, dann setzt man \(\mu_0 = 175\). Vom tatsächlichen durchschnittlichen Wert der Stichprobe (z.B. 176.3cm) zieht man nun die postulierten 175cm (also \(\mu_0\)) ab, und teilt durch die berechnete Standardabweichung \(s\) aus der Stichprobe.

Als kurze Anmerkung sei erwähnt, dass für größere Stichproben (Faustregeln sprechen oft von \(n>50\) oder \(df>50\)) statt der \(t\)-Verteilung als Approximation auch die Normalverteilung verwendet werden kann. Die Kurven der Dichte und Verteilungsfunktion der Normalverteilung und \(t\)-Verteilung mit sehr vielen Freiheitsgraden sind nämlich ähnlich genug, dass es fast keinen Unterschied macht, welche man verwendet.

Parameter

Je größer die Stichprobe wird, desto größer wird die Anzahl der Freiheitsgrade, und desto mehr ähnelt die zugehörige \(t\)-Verteilung dann der Normalverteilung. Die folgende Grafik veranschaulicht den Einfluss des Parameters \(df\):

Die \(t\)-Verteilung hat eine breitere Streuung als die Standardnormalverteilung \(N(0,1)\). Mit steigender Anzahl der Freiheitsgrade \(df\) nähert sich die \(t\)-Verteilung aber der Normalverteilungskurve an. Ab etwa \(df=50\) ist sie nah genug an der Normalverteilung, dass man die \(t\)-Verteilung mit ihr approximieren kann.

Je höher also die Anzahl der Freiheitsgrade \(df\), desto ähnlicher ist die \(t\)-Verteilung der Standardnormalverteilung \(N(0,1)\). Ab etwa 50 Freiheitsgraden, also \(df>50\), kann man mit dem Auge fast keinen Unterschied mehr zwischen den beiden Kurven erkennen.

Für eine \(t\)-verteilte Zufallsvariable \(X\) mit \(df\) Freiheitsgraden schreibt man

\[ X \sim t(df) \]

Träger

Die \(t\)-Verteilung geht genauso wie die Normalverteilung über die gesamten reellen Zahlen. Ihr Träger ist also

\[ \mathcal{T} = \mathbb{R} \]

Erwartungswert, Varianz und Dichte

Man benötigt in der Praxis eigentlich nur die Verteilungsfunktion der \(t\)-Verteilung, wie vorher schon erwähnt, um Hypothesentests und Konfidenzintervalle rechnen zu können. Es wird also in der Statistik (und in Klausuren) in den allermeisten Fällen weder die Dichtefunktion, noch Erwartungswert und Varianz vorkommen.

Der Vollständigkeit halber sei aber erwähnt, dass für eine \(t\)-verteilte Zufallsvariable der Erwartungswert \(\mathbb{E}(X) = 0\), und die Varianz \(\mathbb{V}(X) = \frac{df}{df-2}\) ist.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion (genauso wie die Dichtefunktion) lässt sich nur sehr eklig als Formel notieren. Das Ausrechnen dieser Funktion ist wohl niemandem zuzumuten, weshalb es für die \(t\)-Verteilung auch eine Verteilungstabelle gibt, in der man die wichtigsten Werte nachschlagen kann.

Verteilungsfunktionen für drei ausgewählte \(t\)-Verteilungen. Auch die Verteilungsfunktion ähnelt sich mit steigenden Freiheitsgraden immer mehr der Standardnormalverteilung an.

Der Unterschied der \(t\)-Verteilung zur Standardnormalverteilung ist, dass es viele verschiedene \(t\)-Verteilungen gibt – eine für jeden Freiheitsgrad \(df\).

Daher findet man aus Platzgründen in Büchern und Klausuren nie eine seitenlange Auflistung von je einer vollständigen Verteilungstabelle für jeden Freiheitsgrad, sondern nur die wichtigsten Quantile in einer Spalte.

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Die verbreitete Schreibweise ist für ein t-Quantil dann z.B. \(t_{0.975}(4)\). Das ist das 97,5%-Quantil der t-Verteilung mit 4 Freiheitsgraden. Für dieses Quantil sind die folgenden Aussagen alle wahr und gleichbedeutend:

• 2,5% der Fläche der Dichte der \(t\)-Verteilung mit 4 Freiheitsgraden (ab jetzt \(t(4)\)-Verteilung genannt) liegen rechts von 2,776.
• 2,5% der Fläche der Dichte der \(t(4)\)-Verteilung liegen links von -2,776.
• 95% der Fläche der Dichte der \(t(4)\)-Verteilung liegen im Intervall [-2,776; 2,776].
• Eine \(t(4)\)-verteilte Zufallsvariable wird mit 95% Wahrscheinlichkeit im Intervall [-2,776; 2,776] liegen.
• Das 97,5%-Quantil der \(t(4)\)-Verteilung ist 2,776.

Die folgende Grafik visualisiert diese 2,776.

So interpretiert man die aus der Verteilungstabelle abgelesenen Quantile.

Versuche zur Übung, den Wert 2,776 in der unten stehenden Verteilungstabelle wiederzufinden! Du brauchst das 97,5%-Quantil (also das 0.975-Quantil) der t-Verteilung mit 4 Freiheitsgraden!

Wenn man versteht, dass all diese Sätze äquivalent sind, dann kann man gut mit der Verteilungstabelle umgehen. Die Zeit dafür zu investieren, zahlt sich in der Klausur mit Sicherheit aus.

Idee

Die Normalverteilung ist aus vielen Gründen die wichtigste Verteilung in der Statistik:

• Modelle (zum Beispiel das lineare Regressionsmodell) mit Normalverteilung sind besonders einfach zu rechnen, da die Formeln zur Bestimmung der Parameter \(\beta\) im Normalverteilungsfall sehr leicht auszuwerten sind.
• Der Durchschnitt einer Stichprobe mit beliebiger Verteilung folgt einer Normalverteilung. Das ist weitaus wichtiger als es beim ersten Mal lesen klingt. Ich kann 100 Zufallszahlen aus irgendeiner Verteilung (stetig oder diskret, auch selbstgebastelte Verteilungen mit irgendeiner Dichte) ziehen, und ihr Mittelwert folgt immer einer Normalverteilung. Dieses Phänomen ist als zentraler Grenzwertsatz bekannt, und wird z.B. beim klassischen \(t\)-Test wichtig. Dort bildet man nämlich einen Stichprobenmittelwert und nutzt aus, dass er annähernd normalverteilt ist.
• Viele natürliche Merkmale folgen einer Normalverteilung. Besonders wenn es ein Merkmal ist, dass aus dem Durchschnitt vieler einzelner Eigenschaften gebildet wird, ist das Resultat am Ende zumindest annähernd normalverteilt. Die Körpergrösse einer Person ist zum Beispiel das Ergebnis (der „Durchschnitt“) vieler verschiedener genetischen Faktoren, und kann für ein gegebenes Geschlecht auch sehr gut mit einer Normalverteilung modelliert werden.

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Parameter

Die Glockenkurve der Normalverteilung ist abhängig von zwei Parametern: Dem Mittelwert \(\mu\) und der Varianz \(\sigma^2\). Man notiert eine normalverteilte Zufallsvariable \(X\) als

\[ X \sim \text{N}(\mu, \sigma^2) \]

Mit dem Mittelwert \(\mu\) verschiebt man die Kurve nach links bzw. rechts, und mit der Varianz \(\sigma^2\) verändert man die Form der Kurve – also ob sie enger oder weiter ist. Das folgende Bild veranschaulicht den Einfluss der Parameter:

Der Einfluss der Parameter \(\mu\) und \(\sigma^2\) auf die Dichte der Normalverteilung.

Vorsicht: Der Parameter ist meist die Varianz, also \(\sigma^2\). Beim Rechnen mit der Normalverteilung (zum Beispiel beim Standardisieren der Zufallsvariablen oder bei Hypothesentests) wird oft mit der Standardabweichung \(\sigma\), also der Wurzel der Varianz, gearbeitet. Hier muss man immer genau hinschauen, welche Variante verwendet wird, und gegebenenfalls zwischen den beiden Werten umrechnen.

Träger

Bei jeder Normalverteilung, also egal welche Parameter \(\mu\) und \(\sigma^2\) sie hat, sind theoretisch alle Realisationen aus den positiven und negativen reellen Zahlen möglich. Der Träger einer Normalverteilung ist also

\[ \mathcal{T} = \mathbb{R} \]

Das erscheint vielleicht etwas seltsam, da man die Normalverteilung oft auch dazu verwendet, Dinge wie die Körpergrösse zu modellieren, und es kann ja keine negativen Körpergrössen geben. Man sollte aber zwei Dinge beachten:

• Bei der Modellierung der Körpergrösse wird zum Beispiel eine Normalverteilung mit \(\mu=165\)cm und \(\sigma^2=100\) verwendet. Da liegt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Realisation kleiner als 0 herauskommt, bei ungefähr \(2\cdot 10^{-61}\). Diese Zahl ist eine Null, ein Komma, 60 Nullen, und dann erst eine zwei. Das ist so vernachlässigbar klein, dass in der gesamten Geschichte der Menschheit keine Person in diesem Bereich erwartet wird.
• Die Normalverteilung ist natürlich nur ein „gut genug“ passendes Modell, das zur Beschreibung der Körpergrösse verwendet wird. Die wahre Verteilung der Körpergrösse von Menschen sieht anders aus (und hat natürlich nur einen positiven Träger), aber niemand kennt diese Verteilung, und sie lässt sich wohl auch nicht durch eine so einfache Formel hinschreiben. Daher verwendet man bekannte Verteilungen als Approximation. Man sagt, dass eine bestimmte Verteilung gut genug zur Modellierung ist, und nimmt solche, mit denen man besonders einfach rechnen kann.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ist direkt der erste Parameter, \(\mu\). Bei einer Normalverteilung mit \(\mu=4\) erwartet man also im Durchschnitt eine Realisation von 4, egal wie groß die Varianz \(\sigma^2\) ist.

Varianz

Die Varianz der Normalverteilung ist der zweite Parameter, \(\sigma^2\). In der Hinsicht ist die Normalverteilung ein Sonderfall, da ihre beiden Parameter direkt der Erwartungswert und die Varianz sind – sehr bequem.

Dichte

Die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen \(X\) mit Parametern \(\mu\) und \(\sigma^2\) lautet

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \cdot \exp \left( – \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \]

Wenn man sich statt der Varianz \(\sigma^2\) die Standardabweichung \(\sigma\), also \(\sqrt{\sigma^2}\) anschaut, kann man eine beliebige Normalverteilungsdichte skizzieren. Sie hat ihr Maximum an der Stelle \(\mu\), und fällt dann im Bereich von ungefähr \(\pm 3 \sigma\) ab. Außerhalb eines Abstandes von \(3\sigma\) ist die Dichte sehr nahe bei Null.

Skizze einer Normalverteilung mit \(\mu=0\) und \(\sigma^2=1\).

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung kann man nicht mit einer Formel im Taschenrechner berechnen. Das Integral über die Dichtefunktion lässt sich nämlich nicht mit Stift und Papier lösen:

\[ F(x) = \int_{-\infty}^t \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp \left( – \frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) dt \]

Man nimmt daher eine Verteilungstabelle her, die man häufig am Ende von Statistikbüchern, oder in der Anlage zu Klausuren findet. Wie man die abliest, wird im entsprechenden Artikel erklärt.

Verteilungsfunktion \(\Phi(z)\) der Standardnormalverteilung (also mit \(\mu=0\) und \(\sigma^2=1\)).

Zum Ablesen von Verteilungstabellen

Nun hat man das Problem, dass es unendlich viele Normalverteilungen gibt, mit jeweils unterschiedlichen Parametern \(\mu\) und \(\sigma^2\). Man bräuchte also eine Tabelle für die Verteilung \(\text{N}(10, 1)\), eine für \(\text{N}(10, 1.4)\), und so weiter. Man hilft sich hier dadurch, indem man nur eine Tabelle verwendet, und zwar für die Standardnormalverteilung, also \(X\sim \text{N}(0,1)\), mit \(\mu=0\) und \(\sigma^2=1\). Nun kann man eine beliebige Normalverteilung standardisieren, und dann deren Wert anhand der Verteilungstabelle bestimmen.

Standardisieren von normalverteilten Zufallsvariablen

Angenommen, wir haben eine Zufallsvariable \(X\sim \text{N}(4, 1)\), und möchten ihre Verteilungsfunktion an der Stelle \(x=3\) wissen. Wir suchen also die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich 3 erhält. Man muss sich jetzt klar darüber werden, dass das genau dasselbe ist, wie wenn ich für eine Zufallsvariable \(Z\sim \text{N}(0,1)\) die Verteilungsfunktion an der Stelle \(x=-1\) suche. Das folgende Bild veranschaulicht die Gleichheit der beiden Werte anhand der Fläche unter der Dichte:

Die linke Fläche, d.h. \(\mathbb{P}(X \leq 3)\) für die Zufallsvariable \(X\sim \text{N}(4, 1)\) ist genau gleich der Fläche \(\mathbb{P}(Z \leq -1)\) für die Standardnormalverteilung \(Z\sim \text{N}(0,1)\).

Man standardisiert eine normalverteilte Zufallsvariable \(X\), indem man also, wie gerade gezeigt, zuerst ihren Mittelwert abzieht, und danach durch die Standardabweichung teilt:

\[ Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \]

Das Teilen durch die Standardabweichung streckt bzw. staucht die Glockenkurve so, dass danach ihre Varianz gleich 1 ist.

Damit kann man nun die Verteilungsfunktion jeder beliebigen Normalverteilung bestimmen.

Es gilt also:

\[ \mathbb{P}(X \leq x) = \mathbb{P}(Z \leq \frac{x-\mu}{\sigma}) = \Phi(\frac{x-\mu}{\sigma}) = \Phi(z) \]

Die Standardnormalverteilung wird dabei statt \(F(x)\) mit \(\Phi(z)\) notiert, um Verwechslungen mit der unstandardisierten Verteilungsfunktion zu vermeiden.

Damit können wir nun den oben gesuchten Wert \(\mathbb{P}(X \leq 3)\) für die Zufallsvariable \(X\sim \text{N}(4,1)\) bestimmen:

\[ \mathbb{P}(X \leq 3) = \mathbb{P}(Z \leq \frac{3-4}{1}) = \mathbb{P}(Z \leq -1) = \Phi(-1) = 1 -\Phi(1) = 1 – 0.8413 = 0.1587 \]

Den Wert 0.8413 haben wir dabei mit der Verteilungstabelle bestimmt. Wir mussten die Umrechnung \(\mathbb{P}(Z \leq -1) = 1 -\mathbb{P}(Z \leq 1)\) einführen, da in der Tabelle nur die positiven Werte tabelliert sind. Die Details dazu sind im Artikel zur Verteilungstabelle erklärt.

Der Wert \(F(3)\) der Zufallsvariablen \(X\) ist also gleich dem Wert \(\Phi(-1)\) der standardisierten Zufallsvariable \(Z\). Und da \(\Phi(-1)\) nicht in der Tabelle steht, formen wir es noch um in \(1-\Phi(1)\), und schlagen den Wert für \(\Phi(1)\) nach.

Aufgaben zum Standardisieren

Das Standardisieren muss man einfach einige Male drillen, dann hat man das Prinzip verinnerlicht und Leichtsinnsfehler beseitigt. Bestimme zur Übung die folgenden Werte für verschiedene Normalverteilungen. Beachte, dass der zweite Parameter, \(\sigma^2\), zum Standardisieren noch in die Standardabweichung transformiert werden muss:

• a) Sei \(X\sim \text{N}(2,1)\). Bestimme \(\mathbb{P}(X \leq 3)\).
• b) Sei \(X\sim \text{N}(-1, 4)\). Bestimme \(\mathbb{P}(X \leq 0)\).
• c) Sei \(X\sim \text{N}(0, 5)\). Bestimme \(\mathbb{P}(X > 2)\).
• d) Sei \(X\sim \text{N}(123, 456)\). Bestimme \(\mathbb{P}(X \leq 130)\).
• e) Sei \(X\sim \text{N}(150, 100)\). Bestimme \(\mathbb{P}(160 < X \leq 170)\).

Quantile bestimmen

Das \(\alpha\)-Quantil einer Normalverteilung bestimmt man genau umgekehrt wie den Wert der Verteilungsfunktion:

Man schlägt zuerst das \(\alpha\)-Quantil der Standardnormalverteilung in der Verteilungstabelle nach. Nennen wir es \(z_\alpha\). Man transformiert es nun in das Quantil \(q_\alpha\) der tatsächlichen Normalverteilung, indem man es erst mit \(\sigma\) multipliziert, und dann noch \(\mu\) addiert. Es ist also

\[ q_\alpha = \mu + \sigma \cdot z_\alpha \]

Aufgaben zum Bestimmen von Quantilen

• a) Sei \(X\sim \text{N}(2,1)\). Bestimme das 75%-Quantil \(q_{0.75}\).
• b) Sei \(X\sim \text{N}(-1, 4)\). Bestimme das 50%-Quantil \(q_{0.5}\).
• c) Sei \(X\sim \text{N}(0, 5)\). Bestimme das 97.5%-Quantil \(q_{0.975}\).
• d) Sei \(X\sim \text{N}(123, 456)\). Bestimme das 2.5%-Quantil \(q_{0.025}\).
• e) Sei \(X\sim \text{N}(150, 100)\). Bestimme das 10%-Quantil \(q_{0.1}\).

Idee

Die Exponentialverteilung wird meistens für Warte- und Ausfallzeiten aller Art verwendet. Klassische Beispiele hierfür sind die Lebenszeit einer Glühbirne (also die Wartezeit bis zum Ausfall), oder die Wartezeit bis zum nächsten Anrufer in einer Kundenhotline. Auch die Dauer eines Telefongesprächs kann mit der Exponentialverteilung modelliert werden.

Die Exponentialverteilung kann man als stetige Version der geometrischen Verteilung ansehen. Die Dichte hat dieselbe Form, es handelt sich in beiden Fällen um eine exponentiell fallende Funktion.

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Parameter

Die Exponentialverteilung hat nur einen Parameter, nämlich \(\lambda\) (Lambda). Er beschreibt die durchschnittliche Wartezeit bis zum nächsten „Ereignis“, wie auch immer man das definiert. Ein größeres Lambda steht dabei für eine kleinere durchschnittliche Wartezeit (dazu später mehr).

Man bezeichnet eine exponentialverteilte Zufallsvariable \(X\) mit dem Parameter \(\lambda\) durch

\[ X \sim \text{Exp}(\lambda) \]

Selten, in manchen Büchern bzw. Vorlesungen, findet man auch den Parameter \(\mu\), der dann gleich \(\frac{1}{\lambda}\) ist. Im amerikanischen Raum ist diese Schreibweise der Exponentialverteilung verbreiteter, da muss man also aufpassen, mit welcher Version man gerade arbeitet.

Träger

Da es sich bei der Exponentialverteilung häufig um gemessene (Warte-)zeiten handelt, machen natürlich nur Ergebnisse (Sekunden, Minuten, Tage, …) im positiven Raum Sinn. Der Träger sind daher die positiven reellen Zahlen, oder \(\mathbb{R}^+\):

\[ \mathcal{T} = \mathbb{R}^+ \]

Es sind also von \(0\) bis \(\infty\) alle Wartezeiten denkbar (die sehr langen natürlich mit einer entsprechend winzigen Wahrscheinlichkeit).

Dichte

Die Dichte der Exponentialverteilung ist nur für positive \(x\) größer als null, und lautet dann

\[ f(x) = \lambda \cdot \exp (-\lambda x) \]

Wenn man ganz korrekt vorgeht, teilt man die Dichte in den Bereich für positive \(x\) (inkl. den Spezialfall \(x=0\)), und den für negative \(x\) ein, und schreibt ausführlicher:

\[ f(x) = \begin{cases} \lambda \cdot \exp (-\lambda x), & x \geq 0 \\ 0, & x<0\end{cases}\]

Dichtefunktion der Exponentialverteilung mit \(\lambda=0.5\). Man kann leicht ausrechnen, dass das Maximum der Funktion bei \(x=0\) und \(f(x)=\lambda\) (hier 0.5) liegt.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung lautet im Bereich der positiven \(x\):

\[ \mathbb{P}(X \leq x) = F(x) = 1-\exp (-\lambda x) \]

Auch hier kann man sich mathematisch exakter, aber auf den ersten Blick etwas unübersichtlicher ausdrücken:

\[ F(x) = \begin{cases} 1 – \exp (-\lambda x), & x \geq 0 \\ 0, & x<0\end{cases}\]

Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung mit \(\lambda=0.5\).

Erwartungswert

Der Erwartungswert bei der Exponentialverteilung ist

\[ \mathbb{E}(X) = \frac{1}{\lambda} \]

Wenn man also mit einer beispielhaften Zufallsvariable \(X\) = „Lebensdauer einer Glühbirne in Tagen“ arbeitet, und \(X\) ist exponentialverteilt mit \(\lambda = \frac{1}{365}\), dann schreibt man \(X \sim \text{Exp}(\frac{1}{365})\), und weiss daraus, dass eine Glühbirne in diesem Modell durchschnittlich \(\mathbb{E}(X) = \frac{1}{\lambda} = 365\) Tage hält, bevor sie ausfällt.

Die Exponentialverteilung hat eine sehr angenehme Form der Dichte, so dass sie oft als Paradebeispiel für die Berechnung des Erwartungswertes mit der allgemeinen Formel verwendet wird. Für die mathematisch interessierten (oder die, die mit solch einer Klausuraufgabe rechnen): Der Trick, der hierfür verwendet wird, ist die partielle Integration.

\[ \begin{align*} \mathbb{E}(X) &= \int_{-\infty}^\infty x \cdot f(x) \; dx \\ &=\int_0^\infty x \cdot \lambda \exp (-\lambda x) \\ &= \lambda \int_0^\infty x \cdot \exp (-\lambda x)\end{align*} \]

Die erste Zeile folgt hier aus der Definition des Erwartungswerts für stetige Zufallsvariablen. In der zweiten Zeile ändern wir die untere Integrationsschranke von \(-\infty\) zu 0. Da die Dichtefunktion \(f(x)\) im Bereich \([-\infty, 0]\) überall 0 ist, ist auch das Integral in diesem Bereich gleich null. Ganz ausführlich hingeschrieben hätten wir das Integral aufteilen müssen, da die Funktion \(f(x)\) ja zweiteilig definiert ist:

\[ \begin{align*} \int_{-\infty}^\infty x \cdot f(x) \; dx &= \int_{-\infty}^0 x \cdot f(x) \; dx +\int_0^\infty x \cdot f(x) \; dx \\ &= \int_{-\infty}^0 x \cdot 0 \; dx +\int_0^\infty x \cdot \lambda \exp (-\lambda x ) \; dx \\ &= 0 + \int_0^\infty x \cdot \lambda \exp (-\lambda x ) \; dx \end{align*} \]

Man darf also auf keinen Fall den Teil \(x\cdot \lambda \exp (-\lambda x)\) im Bereich kleiner null integrieren, da die Dichte dort stattdessen 0 ist! Im letzten Schritt haben wir die Konstante \(\lambda\) vor das Integral gezogen. Wenn man das Integral nur als stetige Version einer Summe ansieht, sieht man leicht, dass das ein einfaches Ausklammern, und somit zulässig ist. (Nicht möglich wäre das natürlich bei allen Termen, die ein \(x\) beinhalten, da das die Variable ist, über die integriert wird).

Jetzt kann man mit der Formel für die partielle Integration weiterarbeiten:

\[ \int^b_a f(x) \cdot g'(x) = \left[f(x) \cdot g(x)\right]^b_a – \int^b_a f'(x) \cdot g(x) \; dx\]

Man kann die partielle Integration nur dann sinnvoll verwenden, wenn die Stammfunktion zu \(g'(x)\) einfach zu berechnen ist, und zusätzlich das Integral auf der rechten Seite, \(\int f'(x) \cdot g(x) \; dx\), einfacher als das ursprüngliche Integral zu berechnen ist. Das wäre der Fall, wenn \(f(x) = x\), also \(f'(x) = 1\) ist. Definieren wir dann \(g'(x) = \exp(-\lambda x)\), können wir deren Stammfunktion \(g(x)\) einfach berechnen, da es eine Exponentialfunktion ist:

\[ g(x) = \int \exp(-\lambda x) \; dx = -\frac{1}{\lambda} \exp(-\lambda x) \]

Das kann man durch etwas Ausprobieren und einem nachprüfendem Ableiten am Ende schnell herausfinden.

Jetzt haben wir alle nötigen Terme bestimmt und können in die Formel der partiellen Integration einsetzen:

\[ \int^b_a f(x) \cdot g'(x) = \left[f(x) \cdot g(x)\right]^b_a – \int^b_a f'(x) \cdot g(x) \; dx\]

In unserem Fall ist:

• \(f(x) = x\)
• \(f'(x) = 1\)
• \(g(x) = -\frac{1}{\lambda} \exp(-\lambda x)\)
• \(g'(x) =\exp(-\lambda x)\)

Es ist also

\[ \begin{align*} \mathbb{E}(X) &= \lambda \int_0^\infty x \cdot \exp(-\lambda x) \; dx \\ &= \lambda \left( \Big[ \underbrace{x}_{f(x)} \cdot \underbrace{(-\frac{1}{\lambda}) \exp(-\lambda x)}_{g(x)}\Big]_0^\infty – \int_0^\infty \underbrace{1}_{f'(x)} \cdot \underbrace{(-\frac{1}{\lambda}) \exp(-\lambda x)}_{g(x)} \; dx \right) \end{align*} \]

Die Stammfunktion im linken Teil der großen Klammer ist nun null, denn: \(\exp(-\infty) = 0\) und \(0 \cdot \exp(-\lambda \cdot 0) = 0\). Der Term reduziert sich also zu \([0-0]\). Das ausgeklammerte \(\lambda\) können wir nun vor das übriggebliebene Integral stellen, und den Faktor \(-\frac{1}{\lambda}\) aus dem Inneren des Ingetrals nach vorne ziehen und weitermachen. Die Stammfunktion zu \(\exp (-\lambda x)\) kennen wir zum Glück schon und können sie direkt einsetzen:

\[ \begin{align*} \mathbb{E}(X) &= [ 0 – 0 ] – \lambda \cdot (-\frac{1}{\lambda}) \cdot \int_0^\infty \exp(-\lambda x) \; dx \\ &= (+1) \cdot \left[ -\frac{1}{\lambda} \exp (-\lambda x) \right]_0^\infty \\ &= \left[ 0 – (-\frac{1}{\lambda}) \right] \\ &= \frac{1}{\lambda} \end{align*} \]

Puh! Fertig. So beweisen wir also, dass der Erwartungswert bei der Exponentialverteilung gleich \(\frac{1}{\lambda}\) ist.

Varianz

Die Varianz einer exponentialverteilten Zufallsvariable ist

\[ \mathbb{V}(X) = \frac{1}{\lambda^2} \]

Die Herleitung funktioniert über die allgemeine Formel der Varianz stetiger Zufallsvariablen. Entweder über den Ansatz

\[ \mathbb{V}(X) = \int_{-\infty}^\infty \left( x – \mathbb{E}(X) \right)^2 \cdot f(x) \; dx \]

oder über den Verschiebungssatz

\[ \mathbb{V}(X) = \mathbb{E}(X^2) – [\mathbb{E}(X)]^2 = \int_{-\infty}^\infty x^2 \cdot f(x) \; dx – \left( \frac{1}{\lambda} \right)^2 \]

In beiden Fällen muss man auf dem Weg ein- oder mehrmals die partielle Integration anwenden. Aus Platzgründen, und um eure Motivation nicht zu sehr zu strapazieren, verzichte ich hier aber auf die Ausführung 🙂 .