Was ist ein Chi-Quadrat-Test?

Den Chi-Quadrat-Test gibt es eigentlich nicht. Genauso wie es einige verschiedene t-Tests gibt, so bezeichnet man mit „Chi-Quadrat-Test“ (bzw. \(\chi^2\)-Test, das ist der griechische Buchstabe „Chi“) auch eine Reihe von verschiedenen Tests. Was sie alle gemeinsam haben, ist dass ihre Prüfgröße eine Chi-Quadrat-Verteilung hat.

Ein häufiger Anwendungsfall für den Chi-Quadrat-Test, den wir auch in diesem Artikel behandeln, ist das Testen ob zwei nominale Variablen voneinander abhängig sind, ob sie sich also gegenseitig beeinflussen. Wir fragen z.B. 80 Personen nach ihrem Geschlecht, und nach der von ihr zuletzt gewählten Partei. Wenn wir nun untersuchen möchten ob Frauen und Männer ein unterschiedliches Wahlverhalten haben, geht das mit dem Chi-Quadrat-Test.

Allgemein formuliert testen wir, ob zwei nominalskalierte Variablen abhängig sind. Falls z.B. das Geschlecht einer Person und die zuletzt gewählte Partei voneinander abhängig sind, und wir die gewählte Partei erraten wollen, dann hilft es uns, von einer bestimmten Person das Geschlecht zu kennen. Bei unabhängigen Variablen würde uns die eine Variable nicht helfen, die andere vorherzusagen. Ein Beispiel für zwei unabhängige Variablen wäre das Geschlecht einer Person, und ihre Augenfarbe. Es hilft uns wahrscheinlich nicht dabei, die Augenfarbe von Person X vorherzusagen, wenn wir erfahren, dass es sich dabei um eine Frau handelt.

Eine weitere Analyse die einen Chi-Quadrat-Test verwendet, wäre das Testen ob eine einzelne nominale Variable eine bestimmte Verteilung hat. So könnte z.B. ein Betreiber des öffentlichen Nahverkehrs vermuten, dass bei ihm 30% der Passagiere eine Einzelfahrkarte haben, 65% eine Monatskarte, und 5% Schwarzfahrer sind. Wenn es nun 100 Personen nach ihrer Fahrkarte fragt, kann es mit diesen Daten einen Chi-Quadrat-Test durchführen, um seine Annahme zu überprüfen. Diese Variante wird oft auch Chi-Quadrat-Anpassungstest genannt (Dieser Fall findet sich auch in der Tabelle zur Testwahl wieder, wird aber hier nicht behandelt).

Einführende Artikel

Zum Einstieg sollte man sich zu Beginn die folgenden beiden Artikel durchlesen:

• Was sind Hypothesentests?
• Vorgehen bei Hypothesentests

In ihnen beschreibe ich ganz allgemein die Schritte, mit denen man einen Hypothesentest durchführt. Dadurch werden die einzelnen Teile in diesem Artikel verständlicher.

1. Hypothesen aufstellen

Wir betrachten in diesem Artikel das oben erwähnte Beispiel. Wir fragen 80 Personen nach ihrem Geschlecht, und der zuletzt gewählten Partei. Die Hypothesen bei diesem Test lauten immer gleich:

• \(H_0\): Die beiden Variablen \(X\) und \(Y\) sind unabhängig
• \(H_1\): Die beiden Variablen \(X\) und \(Y\) sind voneinander abhängig

Welche der Variablen man \(X\) und welche man \(Y\) nennt, ist eigentlich egal. Man kann auch andere Buchstaben verwenden die man sich leichter merken kann, z.B. \(G\) für das Geschlecht, und \(P\) für die Partei.

Welche Hypothese die Null- und welche die Alternativhypothese wird, ist bei dieser Aufgabenformulierung manchmal nicht eindeutig formuliert. Aber man kann sich merken, dass man solche Tests immer nur in eine Richtung rechnen kann: Die Situation „die beiden Variablen sind abhängig“ muss immer in die Alternativhypothese.

2. Test wählen

Wir führen hier einen Chi-Quadrat-Test durch. Die Tabelle zur Testwahl hätte uns das auch vorgeschlagen, da wir eine nominale Zielgröße haben (die Partei) und eine nominale Einflussgröße (das Geschlecht).

Notiz am Rande: Der Fisher-Test, der in dieser Tabelle als Alternative vorgeschlagen wird, hat das gleiche Ziel wie der Chi-Quadrat-Test, aber ist im Ergebnis etwas genauer – dafür aber auch rechenaufwändiger. Als Faustregel hat sich eingebürgert, dass man den Chi-Quadrat-Test immer dann verwenden darf, wenn in jeder einzelnen Zelle der in Schritt 4 erstellten Kreuztabelle eine Zahl größer oder gleich 5 steht.

3. Signifikanzniveau festlegen

Wie in allen anderen besprochenen Tests hier können wir auch beim Chi-Quadrat-Test das Signifikanzniveau wählen. Hier verwenden wir die üblichen 5%, also setzen wir das Signifikanzniveau \(\alpha = 0.05\) fest.

4. Daten sammeln

Die Ausgangslage, die wir für einen Chi-Quadrat-Test benötigen, ist immer eine Kreuztabelle der beiden Variablen.

Die Ergebnisse bekommen wir als Liste, aber wir können sie einfach in eine Kreuztabelle zusammenfassen. Als Ausgangssituation haben wir oft eine Liste der folgenden Form:

Person \(i\)	Geschlecht	Partei
1	männlich	CDU/CSU
2	weiblich	Sonstige
3	männlich	SPD
\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)

Wir formen diese Daten um in eine Kreuztabelle (Diese Tabelle haben wir im Artikel zu Kreuztabellen schon mal gesehen):

	SPD	CDU/CSU	FDP	Grüne	Sonstige	Summe
Männer	26	22	8	12	16	84
Frauen	36	28	14	14	24	116
Summe	62	50	22	26	40	200

5. Prüfgröße berechnen

Die Prüfgröße kennen wir bereits aus der deskriptiven Statistik. Sie ist nämlich exakt dasselbe wie der Chi-Quadrat-Koeffizient \(\chi^2\). Die Berechnung dieses Wertes ist im dortigen Artikel erklärt, auch die Herleitung, warum man ihn so berechnet, wird dort erläutert. Ich gebe hier daher die Herleitung der Prüfgröße relativ knapp erklärt wieder.

Wir gehen in zwei Schritten vor. Zuerst berechnen wir die Unabhängigkeitstabelle, und danach den Chi-Quadrat-Koeffizienten, d.h. die Prüfgröße.

Um die Unabhängigkeitstabelle zu erstellen, beginnen wir mit der (bis auf die Randhäufigkeiten) leeren Kreuztabelle der Umfragewerte:

	SPD	CDU/CSU	FDP	Grüne	Sonstige	Summe
Männer						84
Frauen						116
Summe	62	50	22	26	40	200

Dort fügen wir jetzt für jede Zelle die erwartete Häufigkeit ein, d.h. die Anzahl an Personen, die wir erwarten würden wenn die beiden Merkmale „Geschlecht“ und „Partei“ nichts miteinander zu tun hätten. Die Formel dafür (für Zeile \(i\) und Spalte \(j\)) lautet:

\[ e_{ij} = \frac{h_{i\cdot} \cdot h_{\cdot j}}{n} \]

Zum Beispiel ist der erwartete Anteil der männlichen FDP-Wähler \(e_{13} = \frac{84\cdot 22}{200} = 9.24\).

Wie gesagt, im Artikel zum Chi-Quadrat-Koeffizienten ist dieses Vorgehen ein bisschen detaillierter erklärt.

Die erwarteten Häufigkeiten können wir jetzt in die Tabelle eintragen, um den zweiten Schritt, das Berechnen von \(\chi^2\), übersichtlicher machen zu können:

	SPD	CDU/CSU	FDP	Grüne	Sonstige	Summe
Männer	26.04	21	9.24	10.92	16.80	84
Frauen	35.96	29	12.76	15.08	23.20	116
Summe	62	50	22	26	40	200

Mit den übersichtlich gesammelten Werten für \(e_{ij}\) können wir nun die Prüfgröße anhand der folgenden Formel berechnen:

\[ \chi^2 = \sum_{i=1}^I \sum_{j=1}^J \frac{(h_{ij}-e_{ij})^2}{e_{ij}} \]

Was das in Worten bedeutet: Wir müssen für jede der 10 Zellen den Unterschied zwischen tatsächlicher und erwarteter Häufigkeit berechnen, diesen Unterschied dann quadrieren, und ihn nochmal durch die erwartete Häufigkeit teilen. Die so erhaltenen 10 Werte summieren wir einfach auf, und das Ergebnis ist die Prüfgröße.

Für die Zelle „weibliche FDP-Wähler“, also Zeile 2 und Spalte 3, sähe das beispielhaft so aus: \(\frac{(14-12.76)^2}{12.76} = 0.1205\)

Alle 10 Werte, wer es selbst nachrechnen möchte, fasse ich hier kurz zusammen:

	SPD	CDU/CSU	FDP	Grüne	Sonstige
Männer	0.00006	0.0476	0.1664	0.1068	0.0381
Frauen	0.00004	0.0344	0.1205	0.0773	0.0276

Und die fertige Prüfgröße \(\chi^2\) ist jetzt einfach die Summe dieser 10 Werte:

\[ \chi^2 = 0.6188 \]

6. Verteilung der Prüfgröße bestimmen

Die Prüfgröße heißt \(\chi^2\), und sie hat passenderweise auch eine \(\chi^2\)-Verteilung. Wir müssen zum richtigen Ablesen der kritischen Werte allerdings noch die Anzahl der Freiheitsgrade bestimmen. Was damit gemeint ist, ist für einführende Statistikveranstaltungen nicht so wichtig – man darf nur nicht vergessen, diesen Wert zu berechnen, und dann in der Verteilungstabelle auch am richtigen Ort nachzusehen.

Die Prüfgröße ist also \(\chi^2\)-verteilt, und zwar mit \((I-1)\cdot (J-1)\) Freiheitsgraden. Dabei ist mit \(I\) die Anzahl der Zeilen in der Kreuztabelle gemeint, und mit \(J\) die Anzahl der Spalten.

Bei unserem Beispiel sind es also \((2-1) \cdot (5-1) = 4\) Freiheitsgrade.

7. Kritischen Bereich (oder p-Wert) berechnen

Beim Chi-Quadrat-Test gibt es glücklicherweise nur eine Testvariante. Beim t-Test hatten wir dagegen drei mögliche Testrichtungen, je nachdem wie die Alternativhypothese formuliert war: kleiner, größer, oder ungleich einem vorher bestimmten Mittelwert.

Das Berechnen des kritischen Bereichs ist beim Chi-Quadrat-Test also im Gegensatz zum t-Test sehr einfach: Wenn unser Signifikanzniveau \(\alpha\) die üblichen 5% sind, also \(\alpha=0.05\), dann suchen wir das 95%-Quantil (also allgemein \(1-\alpha\)) der \(\chi^2\)-Verteilung mit den vorher berechneten Freiheitsgraden – bei uns 4.

In der Verteilungstabelle lesen wir dann ab: Für 4 Freiheitsgrade und dem Quantil 0.95, also 95%, beträgt der Wert 9.488.

Die Schranke zum kritischen Wert ist also 9.488, und beim Chi-Quadrat-Test ist der kritische Bereich immer der Bereich über der kritischen Schranke. Das heißt, dass alle Prüfgrößen über 9.488 in unserem Fall dazu führen dass wir die Nullhypothese ablehnen, und damit die beiden Variablen „Geschlecht“ und „Partei“ voneinander abhängig sind.

8. Testentscheidung treffen

Im 5. Schritt haben wir die Prüfgröße berechnet als 0.6188. Der kritische Bereich, den wir im 7. Schritt berechnet haben, ist der Bereich über 9.488. Da unsere Prüfgröße aber nicht im kritischen Bereich liegt, können wir in dieser Analyse die Nullhypothese nicht ablehnen.

Wir konnten also hier keine ausreichenden Beweise dafür finden, dass das Wahlverhalten von Männern und Frauen unterschiedlich ist.

Einführende Artikel

Zum Einstieg in das Thema Hypothesentests sollte man sich zu Beginn die folgenden beiden Artikel durchlesen:

• Was sind Hypothesentests?
• Vorgehen bei Hypothesentests

In ihnen beschreibe ich ganz allgemein die Schritte, mit denen man einen Hypothesentest durchführt. Dadurch werden die einzelnen Teile in diesem Artikel verständlicher.

Außerdem macht es Sinn, den Artikel zum Binomialtest zu lesen, da ich dort noch etwas ausführlicher beschrieben habe, wie man die allgemeinen Prinzipien auf einen speziellen Test anwendet. Falls hier etwas nur kurz beschrieben wird, dann ist es im Artikel zum BInomialtest evtl. ausführlicher verständlicher erklärt worden.

Der Zweistichproben-t-Test

Der einfachste Fall eines t-Tests ist der Einstichproben-t-Test, den wir in einem eigenen Artikel bereits behandelt haben. Allerdings ist es in der Praxis üblicher, dass man nicht nur eine, sondern zwei Gruppen hat, und deren Mittelwerte vergleichen möchte. Ein typisches Beispiel sind Messungen, die an Patienten mit einer bestimmten Krankheit vorgenommen werden, und dann „zur Kontrolle“ an einer anderen Gruppe von gesunden Menschen.

In diesem Fall handelt es sich um zwei unabhängige Gruppen. Unabhängig bedeutet hier, dass die Personen (oder Objekte) aus der ersten Gruppe nichts mit denen aus der zweiten Gruppe zu tun haben. Im gepaarten t-Test war das anders, da waren in der ersten und zweiten Gruppe dieselben Personen, nur eben vor bzw. nach einer bestimmten Behandlung.

1. Hypothesen aufstellen

Beim t-Test gibt es, genau wie beim Binomialtest, drei verschiedene Möglichkeiten, seine Hypothesen zu formulieren. Welche Variante man verwenden muss, hängt von der Fragestellung ab, die man untersucht. Dazu drei Beispiele:

1. Ein Forschungsinstitut hat in den 1960er-Jahren untersucht, ob Nichtraucher eine längere Lebenserwartung haben. Dazu wurden in einer ersten Stichprobe von 8 bereits verstorbenen Rauchern das Alter zum Todeszeitpunkt notiert, und in einer zweiten Stichprobe von 6 Nichtrauchern ebenso.
   Um nachzuweisen, dass Nichtraucher eine längere Lebenserwartung haben, kommt dieser Fall in die Alternativhypothese (warum, wird hier erklärt). Wenn wir also die Lebenserwartung von Nichtrauchern mit \(\mu_N\) bezeichnen, und die der Raucher mit \(\mu_R\), lauten unsere Hypothesen:
   • \(H_0: \mu_N \leq \mu_R\)
   • \(H_1: \mu_N > \mu_R\)
2. Um nachzuweisen, dass regelmäßiges Meditieren den Blutdruck senkt, hat ein Studio bei 7 seiner meditierenden Mitglieder den Blutdruck gemessen. Als Kontrollgruppe wurden 7 zufällige Leute auf der Straße, die nicht meditieren, angehalten, und bei ihnen ebefalls der Blutdruck gemessen.
   Da das Studio nachweisen möchte, dass die Meditierer einen niedrigeren durchschnittlichen Blutdruck haben, kommt dieser Fall in die Alternativhypothese. Wir bezeichnen mit \(\mu_M\) den mittleren Blutdruck von Meditierern, und mit \(\mu_N\) den der Nicht-meditierenden, und formen die folgenden Hypothesen:
   • \(H_0: \mu_M \geq \mu_N\)
   • \(H_1: \mu_M < \mu_N\)

   Es ist wohl hilfreich, wenn man diesen Fall genau betrachtet, und mit dem Beispiel aus dem Artikel zum gepaarten t-Test vergleicht: Dort wurde nämlich genau dieselbe Forschungsfrage untersucht, aber mit einem anderen Versuchsplan. Genauer gesagt: Es wurde hier kein vorher/nachher-Vergleich gemacht, in dem der Blutdruck für dieselbe Person vor und nach einer Meditation gemessen wurde, sondern es wurden zwei unabhängige Gruppen untersucht. Diese Tatsache führt dazu, dass wir in diesem Beispiel einen Zweistichproben-t-Test brauchen.

3. Ein Forscher vermutet, dass ein Masterabschluss an einer Fachhochschule (FH) eher praktische Fähigkeiten vermittelt, und einer an der Universität eher theoretische Fähigkeiten. Er möchte nun untersuchen, ob diese unterschiedlichen Ansätze eine Auswirkung auf das spätere Einkommen haben. Dazu sucht er sich eine Gruppe von 100 Berufstätigen im ungefähr gleichen Alter von 40-45 Jahren, und notiert jeweils den Studienabschluss (also „Uni“ oder „FH“) sowie das Einkommen dieser Person.
   Da man theoretisch beide Möglichkeiten (FH-Absolventen verdienen mehr, oder Uni-Absolventen verdienen mehr) für denkbar hält, möchte man bezüglich der Richtung unvoreingenommen vorgehen – man führt also einen zweiseitigen Test durch. Wir bezeichnen das mittlere Einkommen von FH-Absolventen mit \(\mu_F\), das der Uni-Absolventen mit \(\mu_U\). Die Hypothesen lauten dann:
   • \(H_0: \mu_F = \mu_U\)
   • \(H_1: \mu_F \neq \mu_U\)

Die drei verschiedenen Möglichkeiten hängen also davon ab, in welche Richtung die Alternativhypothese geht (kleiner oder größer), bzw. ob sie einseitig oder – wie im dritten Beispiel – zweiseitig ist.

Für den restlichen Artikel konzentrieren wir uns auf das erste Beispiel, das mit der höheren Lebenserwartung von Nichtrauchern.

2. Test wählen

Um die Abfolge der 8 Schritte nicht zu verändern, die wir in den beiden einführenden Artikeln aufgestellt haben (erster und zweiter Artikel), nehme ich hier den 2. Schritt auch mit auf. Es ist natürlich schon klar, dass wir einen Zweistichproben-t-Test verwenden werden.

3. Signifikanzniveau festlegen

Wie in den vorherigen Artikeln schon beschrieben, legt das Signifikanzniveau die Wahrscheinlichkeit fest, mit der man einen bestimmten Fehler macht, nämlich die fälschliche Entscheidung dass die Alternativhypothese gilt, obwohl in Wirklichkeit die Nullhypothese wahr ist.

Allgemeiner Konsens ist hier ein Wert von 5%, also \(\alpha=0.05\). In besonders kritischen Fragestellungen, z.B. solchen, die die menschliche Gesundheit betreffen, muß das Signifikanzniveau oft niedriger gewählt werden, der Test wird dann konservativer. Hier wählt man z.B. \(\alpha=0.01\).

Für unsere Beispielaufgabe nehmen wir das übliche Signifikanzniveau von \(\alpha=0.05\).

4. Daten sammeln

In einer Klausur sind die Daten meist schon gegeben, aber in einer echten Untersuchung müssen wir sie natürlich erst sammeln. Beim Zweistichproben-t-Test brauchen wir, wie der Name schon sagt, zwei Stichproben. Das erreichte Lebensalter der 6 Nichtraucher sind in unserer Aufgabe die folgenden Werte:

\[ N = (80, 92, 74, 99, 69, 78) \]

Wir haben auch das Alter von 8 Rauchern erhalten:

\[ R = (81, 72, 68, 71, 59, 91, 71, 70) \]

5. Prüfgröße berechnen

Beim Zweistichproben-t-Test gibt es einige Spezialfälle, je nachdem ob die Varianz in den beiden Gruppen gleich bzw. verschieden ist, oder ob sie bekannt bzw. unbekannt ist. Ich möchte aber nicht auf alle diese Fälle eingehen, sondern nur auf den in der Praxis relevantesten: Die Varianzen der Merkmale in den zwei Gruppen sind nicht notwendigerweise gleich, und sie sind unbekannt.

Erstens tritt dieser Fall am häufigsten auf, und zweitens kann man diese Variante bei realistischen Stichproben immer, in jedem Fall, anwenden (als Faustregel gilt, wenn in beiden Gruppen mindestens 30 Beobachtungen gemacht wurden).

In diesem Fall müssen wir die folgenden Werte berechnen:

• \(\bar{x}\), der Mittelwert in der ersten Gruppe (Nichtraucher). Bei uns ist \(\bar{x} = 82\).
  Vorsicht: Hier muss man aufpassen, die beiden Gruppen nicht zu verwechseln. Die Gruppe, die in den beiden Hypothesen zuerst, d.h. auf der linken Seite steht (die Nichtraucher), ist jetzt auch die erste Gruppe \(X\). Im Idealfall nennt man die Gruppen einfach von Anfang an \(X\) und \(Y\), aber es ist vielleicht zu Beginn etwas einleuchtender wenn man die Anfangsbuchstaben der zwei Gruppen verwendet.
• \(n_x\), die Anzahl der Beobachtungen in der ersten Gruppe. Bei uns ist \(n_x = 6\), da wir 6 Nichtraucher untersucht haben.
• \(s^2_x\), die Varianz in der ersten Gruppe. Bei uns ist \(s^2_x = 128.4\).
• \(\bar{y}\), der Mittelwert in der zweiten Gruppe (Raucher). Bei uns ist \(\bar{y} = 72.875\). Das mittlere Lebensalter von Nichtrauchern ist also schonmal höher als das der Raucher. Ob es statistisch signifikant höher ist, finden wir jetzt heraus.
• \(n_y\), die Anzahl der Beobachtungen in der zweiten Gruppe. Bei uns ist \(n_y = 8\)
• \(s^2_y\), die Varianz in der zweiten Gruppe. Bei uns ist \(s^2_y = 89.554\).

Dann lautet die Prüfgröße \(T\):

\[ T = \frac{\bar{x} – \bar{y}}{\sqrt{\frac{s^2_x}{n_x} + \frac{s^2_y}{n_y}}} \]

Bei uns setzen wir also ein und erhalten:

\[ T = \frac{82 – 72.875}{\sqrt{\frac{128.4}{6} + \frac{89.554}{8}}} = 1.598 \]

Unsere Prüfgröße T hat also den Wert 1.598.

6. Verteilung der Prüfgröße bestimmen

Falls die Nullhypothese gilt, ist die Prüfgröße t-verteilt mit \(n_x + n_y – 2\) Freiheitsgraden:

\[ T \sim t(n_x + n_y – 2) \]

Bei uns ist das also eine t-Verteilung mit 6+8-2, also 12 Freiheitsgraden:

\[ T \sim t(12) \]

Notiz am Rande: In unterschiedlicher Literatur gibt es sowohl für den Nenner bei der Prüfgröße, als auch für die Anzahl der Freiheitsgrade hier, verschiedene Formeln. Das Thema ist etwas komplexer, aber in der Praxis vereinfacht sich das ungemein, da wir dann für die beiden Gruppen genügend Beobachtungen haben, und einen einfacheren Test verwenden können (wer es genau wissen will: Dann greift der zentrale Grenzwertsatz und wir können als Approximation die Normalverteilung statt der t-Verteilung verwenden).
In Klausuren ist es allerdings nicht machbar, Mittelwerte und Varianzen von mehr als 30 Beobachtungen zu berechnen, weswegen es in diesen Fällen dann doch immer zu diesen Formeln führt. Falls sich Formeln in euren Vorlesungen oder Formelsammlungen von den hier genannten unterscheiden, verwendet natürlich immer die Formeln die euer Professor euch vorgegeben hat.
Das grundlegende Prinzip wird sich dadurch nicht ändern, dieser Artikel ist also trotzdem sinnvoll. Nur die Zahl im Ergebnis wird ein wenig anders sein.

7. Kritischen Bereich (oder p-Wert) berechnen

Den kritischen Bereich berechnen wir genau so wie wir es beim Einstichproben-t-Test und beim gepaarten t-Test schon gemacht haben. Eine Einführung in diese Aufgabe, und ein paar weiter verdeutlichende Beispiele gibt es in diesen beiden Artikeln.

In dieser Aufgabe führen wir einen einseitigen t-Test durch, in dem die Alternative nach rechts zielt. Der kritische Bereich ist also der „höchste“ Bereich, d.h. die höchsten 5%, in die die t-Verteilung mit 12 Freiheitsgraden fällt. Mathematisch gesagt suchen wir als Schranke zu diesem Bereich das 95%-Quantil der t-Verteilung mit 12 Freiheitsgraden.

Alle Werte, die „rechts“ von dieser Schranke liegen, d.h. größer als diese Schranke sind, liegen nun im kritischen Bereich. Falls unsere Prüfgröße dort gelandet ist, lehnen wir die Nullhypothese ab.

Die genauen Werte erhalten wir aus der Tabelle der t-Verteilung (im Artikel zur t-Verteilung ist auch genauer erklärt, wie man das macht). Die rechte Schranke ist, wie schon gesagt, das 95%-Quantil der t-Verteilung mit 12 Freiheitsgraden, und aus der Tabelle lesen wir dafür den Wert 1.782 ab. Prüfe das am besten selbst nach, es ist für eine Klausur unerlässlich, das schnell und sicher zu können.

8. Testentscheidung treffen

Für die Entscheidung haben wir jetzt alle Informationen zusammen:

• Die Prüfgröße ist \(T = 1,.598\).
• Die Schranke zum kritischen Bereich ist bei 1.782. Der kritische Bereich sind alle Werte größer als diese Schranke (da wir einen einseitigen Test rechnen, bei dem die Alternativhypothese nach rechts zielt).

Unsere Prüfgröße liegt also nicht im kritischen Bereich. Daher können wir schlussfolgern, dass wir in dieser Analyse die Nullhypothese nicht ablehnen können. Es wurde also hier kein Beweis dafür gefunden, dass Nichtraucher länger leben als Raucher.

Hinweis: Das bedeutet ausdrücklich nicht, dass wir bewiesen haben dass Nichtraucher nicht länger leben als Raucher. Denn wir können \(H_0\) niemals „statistisch beweisen“, sondern nur \(H_1\). Diese Tatsache ist in diesem Artikel genauer erklärt.

Änderungen bei den zwei anderen Beispielen

Für die übrigen zwei Beispiele aus dem 1. Schritt, wenn die Alternativhypothese entweder zweiseitig ist, oder nach links statt nach rechts zielt, verändert sich nur der kritische Bereich in Schritt 7; die Prüfgröße \(T\) wird aber auf dieselbe Weise berechnet. Die Änderungen sind identisch wie im Einstichproben-t-Test, weswegen der Abschnitt im dortigen Artikel hier genauso angewendet werden kann.

Der gepaarte t-Test wird immer dann verwendet, wenn man zwar zwei Stichproben (d.h. zwei „Gruppen“) hat, diese aber verbunden sind. Verbunden bedeutet in diesem Fall, dass jeder Beobachtung aus der ersten Gruppe direkt eine aus der zweiten Gruppe zugeordnet werden kann, die beiden Beobachtungen gehören also zusammen. In den meisten Fällen ist das der Fall, wenn man einen vorher/nachher-Vergleich machen möchte. Andere Fälle, in denen die Beobachtungen zweier Gruppen „zusammengehören“, also verbunden sind, sind zum Beispiel Zwillingsstudien, in denen je ein Zwilling in eine Gruppe kommt, und dann Unterschiede bezüglich Verhalten oder Eigenschaften getestet werden.

Als Beispiel eines vorher/nachher-Vergleichs misst man etwa bei 9 Personen den Blutdruck, führt sie dann 30 Minuten durch eine Meditation, und misst danach an denselben Personen nochmal den Blutdruck.

In diesem Beispiel könnten die Daten dann wie folgt aussehen:

Person \(x_i\)	Blutdruck vorher	Blutdruck nachher
1	130	124
2	145	142
3	151	138
4	143	143
5	129	122
6	138	141
7	143	140
8	113	108
9	133	127

Wir möchten nun zum Signifikanzniveau \(\alpha=0.1\) testen, ob diese Personen nach der 30-minütigen Meditation einen niedrigeren Blutdruck haben, ob sich also der durchschnittliche Blutdruck gesenkt hat.

Das Schöne an einer gepaarten Stichprobe ist nun, dass wir uns eines Tricks bedienen können, nach dem wir dann einfach den bekannten Einstichproben-t-Test verwenden können:

Da die beiden Gruppen verbunden sind, es also jeweils dieselbe Person in der vorher- bzw. nachher-Gruppe ist, können wir für jede Person die Differenz der beiden Messungen berechnen. Wir fügen eine neue Spalte an die Tabelle von eben an, in der wir einfach „nachher minus vorher“ rechnen:

Person \(x_i\)	Blutdruck vorher	Blutdruck nachher	Differenz / „Effekt“
1	130	124	-6
2	145	142	-3
3	151	138	-13
4	143	143	0
5	129	122	-7
6	138	141	+3
7	143	140	-3
8	113	108	-5
9	133	127	-6

Wir rechnen „nachher minus vorher“, und nicht „vorher minus nachher“, damit eine negative Zahl, z.B. -6, darauf hindeutet, dass der Blutdruck nach der Meditation gesunken ist.

Die letzte Spalte beinhaltet nun also den „Effekt“ der Meditation (falls es einen gibt). Die erste Person hatte zum Beispiel nach der Meditation einen um 6 Punkte niedrigeren Blutdruck als vorher.

Der bequeme und erfreuliche Effekt dieser Nebenrechnung ist jetzt, dass wir die Vorher- bzw. Nachher-Messungen wegwerfen können, und nur noch mit der Differenz weiterarbeiten. Da das nur noch eine einzige Variable ist, können wir mit ihr den bereits bekannten Einstichproben-t-Test durchführen.

Die Hypothesen werden dann abhängig davon gebildet, welchen Effekt man testen möchte. Wenn wir – wie in diesem Beispiel – nachweisen möchten, dass die Nachher-Messung niedriger ist, dann wäre die Alternativhypotese demnach, dass der Mittelwert der eben berechneten Differenzen kleiner als Null ist, also \(H_1: \mu < 0\). (Warum das so ist, wird in diesem Artikel erklärt).

Ab jetzt können wir also den Einstichproben-t-Test durchführen, und brauchen hier daher kein neues Vorgehen, keine separate Erklärung mehr. Die Daten, mit denen wir den Einstichproben-t-Test durchführen, sind:

• \(H_0: \mu \geq 0\)
• \(H_1: \mu < 0\)
• Signifikanzniveau: \(\alpha = 0.1\)
• \(x = (-6, -3, -13, 0, -7, +3, -3, -5, -6)\). Das ist die letzte Spalte der Tabelle oben, unsere „neue“ Stichprobe, nämlich die der Differenzen von vorher zu nachher.

Damit können wir direkt in Schritt 5 der Abfolge beim Hypothesentest einsteigen, dem Berechnen der Prüfgröße. Dieser und alle weiteren Schritte kann man nun genauso durchführen wie im Artikel zum Einstichproben-t-Test erklärt.

Ergebnis

Wer diese Aufgabe selbst zuende rechnen und nachprüfen möchte, für den fasse ich hier die Ergebnisse kurz zusammen. Das Vorgehen ist wie gesagt im entsprechenden Artikel detailliert beschrieben.

• Mittelwert: \(\bar{x} = -4.444\)
• Standardabweichung: \(s = 4.531\)
• Stichprobengröße: \(n = 9\)

Schritt 5: Prüfgröße berechnen

\[T = \sqrt{n} \cdot \frac{\bar{x} \, – \, \mu_0}{s} = \sqrt{9} \cdot \frac{-4.444 \, – \, 0}{4.531} = -2.942 \]

Schritt 6: Verteilung der Prüfgröße bestimmen

\[T \sim t(8) \]

Schritt 7: Kritischen Bereich (oder p-Wert) berechnen

Vorsicht: In dieser Aufgabe ist das Signifikanzniveau \(\alpha\) nicht 0.05, wie es normalerweise ist, sondern 0.1.

Der kritische Bereich ist das linke Ende der t-Verteilung, die „niedrigen“ Zahlen, denn die Alternativhypothese zielt auf Bereiche ab, in denen die Differenz stark negativ ist.

Für die kritische Schranke brauchen wir das 10%-Quantil der t-Verteilung mit 8 Freiheitsgraden. Laut t-Tabelle ist es -1.397.

Der kritische Bereich, in dem wir die Nullhypothese ablehnen, sind also alle Werte für \(T\), die kleiner als -1,397 sind.

Schritt 8: Testentscheidung treffen

Hier ist \(T=-2.942\), und der kritische Bereich ist alles was kleiner als -1,397 ist. Daher liegt die Prüfgröße im kritischen Bereich, und somit können wir die Nullhypothese bei dieser Untersuchung ablehnen.

Wann verwendet man einen Einstichproben-t-Test?

Der t-Test ist wohl der bekannteste und am häufigsten verwendete Hypothesentest. Er kommt immer dann zum Einsatz, wenn man Hypothesen prüfen möchte, die Aussagen über einen Mittelwert treffen. Zwei Beispiele:

• „Die Bahn kommt an diesem Bahnhof im Mittel mindestens 3 Minuten zu spät.“
• „Der durchschnittliche Blutdruck von Rauchern ist höher als der von Nichtrauchern“

Im zweiten Beispiel, das mit dem Blutdruck, haben wir zwei Gruppen, müssen also zwei Stichproben erheben: Eine von einigen Rauchern, und eine zweite von einigen Nichtrauchern. Das wäre ein Zweistichproben-t-Test, dieser Fall wird im nächsten Artikel behandelt.

Der einfachere Spezialfall unter den t-Tests ist nun der Einstichproben-t-Test. Er wird immer dann verwendet, wenn man nur eine Stichprobe (d.h. keine Gruppen) hat, also nur einen einzelnen Mittelwert testen möchte – so wie es im ersten Beispiel, mit der Verspätung der Bahn, der Fall war.

Dieser Test heißt t-Test, weil die Prüfgröße eine t-Verteilung hat.

Einführende Artikel

Zum Einstieg sollte man sich zu Beginn die folgenden beiden Artikel durchlesen:

• Was sind Hypothesentests?
• Vorgehen bei Hypothesentests

In ihnen beschreibe ich ganz allgemein die Schritte, mit denen man einen Hypothesentest durchführt. Dadurch werden die einzelnen Teile in diesem Artikel verständlicher.

Außerdem macht es Sinn, den Artikel zum Binomialtest zu lesen, da ich dort noch etwas ausführlicher beschrieben habe, wie man die allgemeinen Prinzipien auf einen speziellen Test anwendet. Falls hier etwas nur kurz beschrieben wird, dann ist es im Artikel zum BInomialtest evtl. ausführlicher verständlicher erklärt worden.

1. Hypothesen aufstellen

Beim t-Test gibt es, genau wie beim Binomialtest, drei verschiedene Möglichkeiten, seine Hypothesen zu formulieren. Welche Variante man verwenden muss, hängt von der Fragestellung ab, die man untersucht. Dazu drei Beispiele:

1. Ein misstrauischer Oktoberfestbesucher möchte nachweisen, dass in den Maßkrügen im Durchschnitt weniger als 1 Liter Bier eingeschenkt wurde. Die Alternativhypothese muss also sagen, dass der MIttelwert kleiner als 1000ml ist. Insgesamt also:
   • \(H_0: \mu \geq 1000ml\)
   • \(H_1: \mu < 1000ml\)
2. Ein Dorf behauptet, dass seine Bewohner im Mittel über 100 Jahre alt werden. Um das nachzuweisen, muss der Fall „erreichtes Lebensalter (\(\mu\)) ist über 100 Jahre“ in die Alternativhypothese \(H_1\) (warum das so ist, wird in diesem Artikel beschrieben). Die Hypothesen lauten also:
   • \(H_0: \mu \leq 100\)
   • \(H_1: \mu > 100\)
3. In einer Fabrik werden Frühstücksmüslis in Packungen zu 750g abgefüllt. Die Qualitätssicherung überprüft, dass in eine Packung im Durchschnitt weder zu wenig noch zu viel Müsli gefüllt wird. Die Nullhypothese bezeichnet also den Normalzustand, \(\mu = 750g\), und die Alternativhypothese geht nun in beide Richtungen – insgesamt also:
   • \(H_0: \mu = 750g\)
   • \(H_1: \mu \neq 750g\)

Im restlichen Artikel verwende ich das dritte Beispiel mit den Müslipackungen, und zeige am Ende noch kurz, welche Veränderungen man in den anderen beiden Fällen vornehmen müsste.

2. Test wählen

Um die Abfolge der 8 Schritte nicht zu verändern, die wir in den beiden einführenden Artikeln aufgestellt haben (erster und zweiter Artikel), nehme ich hier den 2. Schritt auch mit auf. Es ist natürlich schon klar, dass wir einen Einstichproben-t-Test verwenden werden.

3. Signifikanzniveau festlegen

Wie in den vorherigen Artikeln schon beschrieben, legt das Signifikanzniveau die Wahrscheinlichkeit fest, mit der man einen bestimmten Fehler macht, nämlich die fälschliche Entscheidung dass die Alternativhypothese gilt, obwohl in Wirklichkeit die Nullhypothese wahr ist.

Allgemeiner Konsens ist hier ein Wert von 5%, also \(\alpha = 0.05\). In besonders kritischen Fragestellungen, z.B. solchen, die die menschliche Gesundheit betreffen, muß das Signifikanzniveau oft niedriger gewählt werden, der Test wird dann konservativer. Hier wählt man z.B. \(\alpha = 0.01\).

Für unsere Beispielaufgabe nehmen wir das übliche Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.05\).

4. Daten sammeln

In einer Klausur oder Übung gibt es die Daten natürlich meist schon. Wenn man sie aber selber sammelt, müssen die Daten für einen Einstichproben-t-Test eigentlich nur eine lange Liste von Dezimalzahlen sein. Wir fassen diese Daten dann im 5. Schritt zusammen in zwei Werte, in unserem Beispiel erstens den Mittelwert der Daten, \(\bar{x}\), und zweitens die Standardabweichung, \(s\). Diese beiden Werte brauchen wir für den Einstichproben-t-Test.

In unserem Beispiel betrachten wir zehn Müslipackungen und wiegen ihren exakten Inhalt ab. Wir erhalten die folgenden Messwerte:

Packung \(x_i\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Inhalt	749g	755g	757g	751g	743g	750g	752g	750g	757g	757g

5. Prüfgröße berechnen

Die Prüfgröße beim t-Test heißt \(T\), und setzt sich aus vier Zahlen zusammen:

• Der Mittelwert der gemessenen Werte, \(\bar{x}\). Der Mittelwert der zehn Packungen bei uns ist 752.1g.
• Die Standardabweichung der gemessenen Werte, \(s\). Hier ist die Standardabweichung 4.508. Eine ausführliche Erklärung dazu findest du in diesem Artikel.
• Der „tatsächliche“ bzw. unterstellte Mittelwert \(\mu_0\). Da wir von einem Packungsinhalt von 750g ausgehen, ist bei uns \(\mu_0 = 750g\)
• Wie groß die Stichprobe ist. Je mehr Daten man erhoben hat, desto genauer ist nämlich die Schätzung für den Mittelwert. Wir haben \(n=10\) Beobachtungen. In der Formel brauchen wir gleich die Wurzel aus dieser Zahl

Die Formel für die Berechnung der Prüfgröße lautet nun

\[ T = \sqrt{n} \cdot \frac{\bar{x} \, – \, \mu_0}{s} \]

Bei uns setzen wir also ein:

\[ T = \sqrt{10} \cdot \frac{752.1 \, – \, 750}{4.508} = 1.473 \]

Unsere Prüfgröße ist also \(T = 1.473\).

6. Verteilung der Prüfgröße bestimmen

Falls in Wirklichkeit tatsächlich durchschnittlich 750g in einer Müslipackung sind, dann ist der Mittelwert t-verteilt mit \(n-1\) Freiheitsgraden. Da unsere Prüfgröße \(T\) schon standardisiert ist, ist es ab jetzt egal, welchen Mittelwert \(\mu_0\) wir unterstellen, und welche Standardabweichung die Daten haben.

Die Bezeichnung „Freiheitsgrade“ ist ein wenig kompliziert, und ich bin der Meinung, dass man das Konzept nicht unbedingt verstehen muss – man kann das Wort ohne Probleme einfach so akzeptieren. Man muss sich nur merken, dass man bei einer Stichprobe der Größe \(n\) eben die t-Verteilung mit \(n-1\) Freiheitsgraden verwenden muss.

Bei unserem Beispiel ist \(n=10\), wir verwenden also die t-Verteilung mit \(n-1=9\) Freiheitsgraden:

\[ T \sim t(9) \]

7. Kritischen Bereich (oder p-Wert) berechnen

Den kritischen Bereich erhalten wir mit Hilfe einer Tabelle der t-Verteilung, die in einem eigenen Artikel erklärt wird. Wir suchen einen kritischen Bereich, in dem unser Ergebnis (d.h. die Prüfgröße \(T\)) nur zu 5% (das ist das SIgnifikanzniveau \(\alpha\)) fallen würde, falls die Nullhypothese gilt. Da wir hier einen zweiseitigen Test verwenden, teilen wir diese 5% auf in jeweils 2.5% links und 2.5% rechts. Man kann sich das so vorstellen, dass sowohl besonders kleine, als auch besonders große Werte von \(\bar{x}\) (und somit auch von \(T\)) gegen die Nullhypothese sprechen.

Mir hat es zum Verständnis immer geholfen, ein Diagramm zu zeichnen, um zu verstehen welche Werte wir suchen.

Wir suchen nun die beiden Grenzen, die den kritischen Bereich einrahmen. An der Grafik erkennt man schon, dass sie ein bisschen über der 2 liegen, vielleicht bei -2,3 und +2,3.

Die genauen Werte erhalten wir aus der Tabelle der t-Verteilung (im Artikel zur t-Verteilung ist auch genauer erklärt, wie man das macht). Die rechte Schranke ist das 97,5%-Quantil der t-Verteilung mit 9 Freiheitsgraden, und aus der Tabelle lesen wir den Wert 2,262 ab. Prüfe das am besten selbst nach, es ist für eine Klausur unerlässlich, das schnell und sicher zu können.

Die linke Schranke ist -2,262, denn da die t-Verteilung symmetrisch um 0 ist, können wir einfach den negativen Wert von der rechten Schranke (2,262) nehmen. Der kritische Bereich ist also der in der Grafik rot eingefärbte Bereich, es ist der Bereich außerhalb der beiden Schranken.

8. Testentscheidung treffen

Insgesamt wissen wir nun: Wenn unsere Prüfgröße \(T\) innerhalb des Bereichs [-2,262, 2,262] liegt, dann spricht das für die Nullhypothese. Liegt \(T\) aber außerhalb (also im kritischen, roten Bereich), dann können wir die Nullhypothese ablehnen, und unsere Testentscheidung fällt zugunsten der Alternativhypothese \(H_1\) aus.

In Schritt 5 haben wir \(T = 1.473\) ausgerechnet. Die Prüfgröße liegt also nicht im kritischen Bereich. Es ist also „alles in Ordnung“: Wir können weiterhin von der Nullhypothese ausgehen, und haben keinen Anlass dafür den Abfüllmechanismus in der Müslifabrik zu reparieren.

Änderungen bei den zwei anderen Beispielen

Im Beispiel dieses Artikels haben wir einen zweiseitigen t-Test durchgeführt. Falls man einen einseitigen t-Test rechnen möchte, so wie in den anderen beiden Beispielen die oben schon erwähnt wurden, dann ist der kritische Bereich nur auf einer Seite der möglichen Werte für die Prüfgröße \(T\). Im ersten Beispiel, das mit dem misstrauischen Oktoberfestbesucher, ist der kritische Bereich z.B. nur durch zu wenig befüllte Maßkrüge, also durch kleine Werte für die Prüfgröße gegeben. Der kritische Bereich dort wird also das linke Ende der t-Verteilung sein, und zwar die linken 5% (statt der 2,5%, die beim zweiseitigen Test verwendet wurden). Die Schranke, die den kritischen Bereich abgrenzt, ist das 5%-Quantil der t-Verteilung:

Wenn also die Prüfgröße \(T\) kleiner als ca. 1,9 ist (der genaue Wert hängt wieder von der Stichprobengröße, also der Anzahl der Freiheitsgrade ab), dann lehnen wir die Nullhypothese in diesem Fall ab.

Falls der Test allerdings einseitig nach rechts testet, z.B. beim 3. Beispiel (die Dorfbewohnern, die behaupten dass sie im Mittel über 100 Jahre werden), dann ist der kritische Bereich das rechte Ende der t-Verteilung. Hier bräuchten wir also das 95%-Quantil als Schranke zum kritischen Bereich:

 

Beim Testen muss man zuallererst die beiden Hypothesen aufstellen. Hier tun sich viele Studenten schwer – auch ich hatte damals Probleme – daher möchte ich hier nochmal genauer erläutern, welcher Teil in welche Hypothese kommt.

Das Wichtigste: Man kann \(H_0\) nie beweisen!

Es ist nicht das gleiche, \(H_0\) beizubehalten, und \(H_0\) zu beweisen. Um zurück auf das Beispiel mit dem unschuldigen Angeklagten (aus einem früheren Artikel) zu kommen:

Wenn ich beweisen möchte, dass der Angeklagte schuldig ist, muss ich meine Hypothesen so herum formulieren:

• \(H_0\): Der Angeklagte ist unschuldig.
• \(H_1\): Der Angeklagte ist schuldig

Wenn ich nun „Daten erhebe“, also in der Verhandlung Beweise gesammelt werden, dann tritt einer der folgenden zwei Fälle ein:

• Es gibt genug Beweise für die Schuld des Angeklagten. Dann kann ich \(H_0\) ablehnen und habe \(H_1\) nachgewiesen, d.h. der Angeklagte ist (ziemlich sicher) schuldig. Die Antwort in diesem Fall lautet also: „\(H_1\) ist wahr“ (natürlich nur zu dem gewählten Signifikanzniveau).
• Man hat keine (oder nicht genug) Beweise für die Schuld des Angeklagten gefunden. Damit habe ich aber \(H_0\) (also die Unschuld) nicht bewiesen! Nur weil keine Beweise für die Schuld gefunden wurden, können wir nicht sagen „wir haben bewiesen dass der Angeklagte unschuldig ist“. Die Antwort in dieser Situation lautet stattdessen: „Wir wissen es nicht“. In einer statistischen Auswertung sagt man dann zum Beispiel: „Es konnten keine Hinweise auf die Gültigkeit der Alternativhypothese gefunden werden.“

Man kann also \(H_0\) nie beweisen, sondern nur \(H_1\). Aus diesem Grund ist es so wichtig, dass man die Hypothesen richtig herum formuliert: Der Fall, den man nachweisen möchte, kommt in die Alternativhypothese. Die Metapher mit der Gerichtsverhandlung ist eine hilfreiche Eselsbrücke, um sich an dieses Vorgehen zu erinnern.

Ein Beispiel

Zwei Führungskräfte streiten sich: Kevin behauptet dass die Mitarbeiter ihrer Firma im Durchschnitt weniger als 6 Tage im Jahr krank sind, aber Falk ist davon überzeugt, dass sie mindestens 6 Tage im Jahr krank sind.

Kevin möchte nun Recht bekommen, und nachweisen dass es weniger als 6 Tage sind. Das, was er beweisen möchte, muss in die Alternativhypothese \(H_1\). Die Nullhypothese wird „das Gegenteil“ davon, sozusagen der Status quo, von dem Kevin ausgehen muss, solange er nicht ausreichend Beweise für \(H_1\) gesammelt hat. Seine Hypothesen lauten also:

• \(H_0\): Die Mitarbeiter fehlen mindestens 6 Tage pro Jahr
• \(H_1\): Die Mitarbeiter fehlen weniger als 6 Tage pro Jahr

Wenn aber stattdessen Falk loszieht, Daten sammelt, und seine Vermutung beweisen will, möchte er ja genau das Gegenteil von Kevin beweisen. Seine Hypothesen werden also genau andersherum formuliert:

• \(H_0\): Die Mitarbeiter fehlen weniger als 6 Tage pro Jahr
• \(H_1\): Die Mitarbeiter fehlen mindestens 6 Tage pro Jahr

Wenn man dieses Beispiel verinnerlicht hat, sollte das Aufstellen beliebiger Hypothesen kein Problem mehr sein. Wichtig ist, sich zu merken, dass es bei jedem Hypothesentest zwei mögliche Ergebnisse gibt, und man nur eines davon wirklich beweisen kann. Meistens hat man eine Vorliebe für eines der beiden Ergebnisse (in einer Klausur sollte das auch klar ersichtlich sein), und das wird dann die Alternativhypothese \(H_1\).

Der Binomialtest ist in meinen Augen der Test, den man am einfachsten verstehen kann. Ich empfehle daher, sich zuerst mit diesem Test zu beschäftigen, wenn man in das Gebiet der statistischen Tests eintauchen möchte.

Einführende Artikel

Außerdem sollte man sich zu Beginn die folgenden beiden Artikel durchlesen:

• Was sind Hypothesentests?
• Vorgehen bei Hypothesentests

In ihnen beschreibe ich ganz allgemein die Schritte, mit denen man einen Hypothesentest durchführt. Dadurch werden die einzelnen Teile in diesem Artikel verständlicher.

Wann verwendet man einen Binomialtest?

Der Binomialtest wird klassischerweise angewendet, wenn man eine Zielgröße mit zwei möglichen Ausprägungen hat (z.B. „ja“ und „nein“), und eine Vermutung über den Anteil an „ja“ überprüfen möchte.

Im Artikel Welchen statistischen Test soll ich wählen? erkläre ich ganz allgemein, wann welcher Test angebracht ist.

1. Hypothesen aufstellen

Beim Aufstellen der Hypothesen muss man genau auf seine zu untersuchende Fragestellung achten. Es gibt nämlich drei verschiedene Möglichkeiten, die ich kurz mit den folgenden drei Beispielproblemen illustriere:

1. Dein Freund ist Basketballer, und möchte nachweisen, dass er im Durchschnitt mehr als 60% aller Würfe auf den Korb triffft. Man will also herausfinden, ob der Anteil an Treffern bei diesem Spieler größer als 60% ist.
2. Der öffentliche Nahverkehr geht seit einer Weile von 3% Schwarzfahrern aus. Er hat momentan genau so viele Fahrkartenkontrolleure eingestellt, um mit diesem Anteil an Schwarzfahrern bestmöglich zurechtzukommen. Er möchte nun testen, ob sich der Anteil verringert hat, ob er also kleiner als 3% ist, und falls das so ist, die Anzahl der eingesetzten Kontrolleure verringern.
3. Bei einem Online-Kleidungshandel wurden bisher \(\frac{1}{3}\) aller bestellten Artikel wieder zurückgesendet. Er möchte überprüfen, ob sich in diesem Monat die Retourenquote verändert hat (ob nach oben oder unten), ob sie also nicht mehr \(\frac{1}{3}\) ist.

Für diese drei Beispiele sehen die Hypothesen jeweils ein bisschen anders aus:

1. Wir möchten prüfen, ob der Anteil \(p\) an Korbtreffern größer ist als 60% (also 0.6). Das heißt dass die Alternativhypothese besagen muss, dass p größer als 60% ist (der Grund dafür wird in diesem Artikel erklärt). Die Nullhypothese ist dann genau das Gegenteil, also insgesamt:
   • \(H_0: p \leq 0.6\)
   • \(H_1: p > 0.6\)

   Bemerkung: Beim Testen gehen wir ja von \(p = 0.6\) aus, also könnte man das auch so (statt mit \(\leq\)) in die Nullhypothese schreiben. Welche der beiden Varianten man wählt, hat aber keinen Einfluss auf den restlichen Test. Es wird in beiden Fällen gleich weitergerechnet, und es kommt am Ende auch das gleiche Ergebnis heraus. Ich bevorzuge die Variante mit \(\leq\), da man so mit den zwei Hypothesen alle denkbaren Wahrheiten abbildet, also auch die Fälle, wo \(p\) in Wirklichkeit kleiner als \(0.6\) ist.

2. Hier interessiert uns, ob der Anteil an Schwarzfahrern kleiner ist als 3%. Aus denselben Gründen wie bisher setzen wir also:
   • \(H_0: p \geq 0.03\)
   • \(H_1: p < 0.03\)
3. Dieser Test ist etwas speziell. Er nennt sich zweiseitiger Test, denn die Alternativhypothese \(H_1\) zielt in zwei Richtungen ab. Die Nullhypothese ist dann immer nur ein einziger Wert für \(p\) – in unserem Fall:
   • \(H_0: p = \frac{1}{3}\)
   • \(H_1: p \neq \frac{1}{3}\)

Im restlichen Artikel verwende ich das erste Beispiel mit den Basketballtreffern, und zeige am Ende noch kurz, welche Veränderungen man in den anderen beiden Fällen vornehmen müsste.

2. Test wählen

Um die Abfolge der 8 Schritte nicht zu verändern, die wir in den beiden einführenden Artikeln aufgestellt haben (erster und zweiter Artikel), nehme ich hier den 2. Schritt auch mit auf. Es ist natürlich schon klar, dass wir einen Binomialtest verwenden werden.

3. Signifikanzniveau festlegen

Wie in den vorherigen Artikeln schon beschrieben, legt das Signifikanzniveau die Wahrscheinlichkeit fest, mit der man einen bestimmten Fehler macht, nämlich die fälschliche Entscheidung dass die Alternativhypothese gilt, obwohl in Wirklichkeit die Nullhypothese wahr ist.

Allgemeiner Konsens ist hier ein Wert von 5%, also \(\alpha = 0.05\). In besonders kritischen Fragestellungen, z.B. solchen, die die menschliche Gesundheit betreffen, muß das Signifikanzniveau oft niedriger gewählt werden, der Test wird dann konservativer. Hier wählt man z.B. \(\alpha = 0.01\).

Für unsere Beispielaufgabe nehmen wir das übliche Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.05\).

4. Daten sammeln

In einer Klausur oder Übung gibt es die Daten natürlich meist schon. Wenn man sie aber selber sammelt, müssen die Daten für einen Binomialtest eigentlich nur eine lange Liste von „ja“ und „nein“-Antworten sein. Wir fassen diese Daten dann im 5. Schritt zusammen in zwei Werte, in unserem Beispiel erstens die gesamte Anzahl an Würfen, \(n\), und zweitens die Anzahl der Treffer. Das ist eine Zahl zwischen 0 und \(n\), die wir nun einfach \(x\) nennen. Diese beiden Werte brauchen wir für den Binomialtest.

Wir lassen unseren Freund 10 Bälle werfen, und notieren 7 Treffer.

5. Prüfgröße berechnen

Beim Binomialtest ist die Prüfgröße sehr einfach bestimmt: Es ist einfach \(x\), die Anzahl der Treffer. In diesem Beispiel ist \(x=7\).

6. Verteilung der Prüfgröße bestimmen

Falls die Nullhypothese gilt, dann ist die Prüfgröße \(x\), die Anzahl der Treffer, binomialverteilt. Wir haben \(n\) Bälle geworfen, und erwarten, falls \(H_0\) gilt, in etwa einen Anteil von \(p=0.6\) Treffern. Unsere Prüfgröße \(x\) hätte also die folgende Binomialverteilung:

\[ x \sim B(n, p) \]

In unserem Fall wäre die Anzahl der Treffer \(B(10, 0.6)\) verteilt.

Die Binomialverteilung ist im entsprechenden Artikel genauer erklärt.

7. Kritischen Bereich (oder p-Wert) berechnen

Der kritische Bereich ist der Bereich für \(x\), ab dem wir nicht mehr an \(H_0\), also an eine Trefferwahrscheinlichkeit von höchstens 60%, glauben können. Wir suchen also eine bestimmte Anzahl an Korbtreffern, die unser Spieler nur sehr unwahrscheinlich erreichen oder überschreiten würde, wenn er in Wahrheit durchschnittlich nur 60% aller Würfe trifft.

Der vorherige Satz in mathematisch (aber mit derselben Bedeutung) lautet: Wir suchen eine Grenze \(k\), die unser Spieler nur mit einer Wahrscheinlichkeit von \(\alpha = 0.05\) erreichen oder überschreiten würde, wenn in Wahrheit die Nullhypothese \(H_0\) gilt.

Und jetzt dasselbe noch mathematischer (aber immer noch dieselbe Aussage): Wir suchen ein \(k\), für das gilt, dass \(P(x \geq k)\) höchstens 0.05 ist, unter der Annahme dass \(p = 0.6\).

Und zuletzt die ganz kurze Formulierung derselben Idee: Wir suchen ein \(k\), so dass

\[ P(X \geq k | p = 0.6) \leq 0.05 \]

Die Schreibweise mit dem vertikalen Balken bezeichnet eine bedingte Wahrscheinlichkeit, p=0.6 ist also hier gegeben.

Es ist sehr hilfreich, sich im Voraus schon zu überlegen, auf welcher Seite der kritische Bereich liegen muss, denn so kommt man erstens leichter zum nächsten Schritt, und kann zweitens am Ende sein Ergebnis nochmal auf Plausibilität prüfen. Im Beispiel hier geht die Nullhypothese von wenigen Treffern aus, und die Alternativhypothese von vielen. Es ist also ein einseitiger Test. Der kritische Bereich muss also im Bereich von hohen Treffern für x liegen. Der kritische Bereich könnte z.B. {8, 9, 10} sein, vielleicht auch nur {9, 10}, aber er wird auf keinen Fall z.B. {1, 2, 9, 10} sein, denn niedrige Ergebnisse wie 1 oder 2 Treffer sprechen in diesem Beispiel nicht für die Alternativhypothese.

Bei der obigen Formulierung \(P(X \geq k)\) müssen wir direkt an die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung denken. Die Grenze \(k\) können wir herausfinden, indem wir nacheinander die einzelnen Werte für die Dichte der „hohen“ Ergebnisse summieren, bis wir insgesamt über 5%, also unser Signfiikanzniveau \(\alpha=0.05\) kommen (die Formel der Dichte hier gibt es im Artikel zur Binomialverteilung):

• \(P(X = 10) = {10 \choose 10} \cdot 0.6^{10} \cdot 0.4^{0} = 0.006\). Verstehe, was hier ausgesagt wird: Falls dein Freund nur 60% aller Bälle trifft, dann ist seine Wahrscheinlichkeit, alle 10 von 10 Versuchen zu treffen, nur 0.6%.
• \(P(X = 9) = {10 \choose 9} \cdot 0.6^{9} \cdot 0.4^{1} = 0.040\). Jetzt wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit für mindestens 9 Treffer 0.040 + 0.006, also 0.046 ist. Das ist noch ganz knapp unter dem Signifikanzniveau \(\alpha=0.05\). Eine Grenze von \(k=9\) würde der Basketballer also nur zu 4.6% erreichen oder überschreiten.
• \(P(X = 8) = {10 \choose 8} \cdot 0.6^{8} \cdot 0.4^{2} = 0.121\). Die Wahrscheinlichkeit für mindestens 8 Treffer ist also 0.121 + 0.040 + 0.006 = 0.167. Jetzt können wir aufhören mit dem Dichten berechnen. Denn eine Grenze von \(k=8\) ist zu niedrig gewählt, sie erreicht der Spieler zu 16.7%.

Die Schranke für den kritischen Bereich liegt also bei 9 Körben. Daher ist der kritische Bereich {9, 10}. Die Schlussfolgerung: Wenn unser Spieler bei 10 Würfen mindestens 9 Körbe trifft, dann kann er behaupten, signifikant nachgewiesen zu haben, mehr als 60% aller Körbe zu treffen. Bei z.B. 7 Treffern hat er zwar mehr als 60% getroffen, aber es ist noch viel zu wahrscheinlich, dass er das nur durch Zufall geschafft hätte. Man könnte auch ausrechnen, wie wahrscheinlich es wäre, mindestens 7 Treffer zu erhalten (es passiert zu 38.2%, wer es gerne nachrechnen möchte).

8. Testentscheidung treffen

Da unser Spieler 7 Treffer erzielt hat, aber unser kritischer Bereich bei 9 und 10 Treffern liegt, können wir die Nullhypothese nicht ablehnen. Der Basketballer konnte nicht genügend Beweise für die Alternativhypothese liefern.

Änderungen bei den zwei anderen Beispielen

Für Beispiel 2, das mit den Schwarzfahrern, und Beispiel 3, das mit den Retouren beim Online-Kleidungshandel, ändern sich nur die Schritte 1 und 6. Wir erstellen andere Hypothesen, und wir berechnen den kritischen Bereich anders.

In Beispiel 2 möchten wir ja nachweisen, dass besonders wenige Schwarzfahrer unterwegs sind. Daher ist der kritische Bereich dann nicht am oberen Ende der möglichen Ergebnisse, sondern am unteren Ende. Wir würden beim „Abzählen“, das wir im Schritt 6 gemacht haben, nicht oben, bei \(n\), beginnen, sondern eben unten, ab 0. Dann erhalten wir einen Bereich mit „sehr niedrigen“ Ergebnissen, die zusammen nur in 5% der Fälle vorkommen würden.

In Beispiel 3 müssen wir etwas umständlicher vorgehen, und beide Bereiche abzählen, aber jeweils nur 2.5% (bzw. allgemein \(\frac{\alpha}{2}\)) der Wahrscheinlichkeit verteilen. Wir zählen also unten ab, bis wir bei maximal 2.5% angekommen sind, und dann dasselbe nochmal von oben.