Das Wichtigste in Kürze

Die Unterscheidungen diskret–stetig bzw. nominal–ordinal–intervallskaliert–verhältnisskaliert sind zwei verschiedene Möglichkeiten, ein Merkmal zu beschreiben.  Meistens benutzt man allerdings nur die Bezeichnungen „nominal“, „ordinal“ und „stetig“, bzw. „diskret“ für verhältnisskalierte Zähldaten.

Bei der Erhebung, Auswertung und Interpretation von Merkmalen gibt es viele Methoden, die oft nur bei bestimmten Merkmalstypen möglich oder sinnvoll sind. Wir werten zum Beispiel die Größe einer Person anders aus als die Religionszugehörigkeit oder den Vornamen.

Merkmalstypen: Diskrete und stetige Merkmale

Für den praktischen Umgang mit Daten ist meist nur interessant, ob es sich um diskrete oder stetige Daten handelt, da diese Unterscheidung bestimmt, mit welchen Methoden man vorgeht. Diskrete Daten sind definiert als Daten, die endlich oder abzählbar unendlich viele Ausprägungen haben. Abzählbar unendlich heißt hier, dass es sich meist um Zähldaten handelt, die theoretisch ins Unendliche gehen können, wie z.B. die Anzahl der Kinder einer Person.

Stetige Daten, wie z.B. die Körpergröße, sind dadurch charakterisiert, dass theoretisch unendlich viele verschiedene Werte innerhalb eines Intervalls als Ausprägung vorkommen können. Bei der Körpergröße ist dieses Intervall das der reellen Zahlen (obwohl man es wohl auf das Intervall von 0cm bis 300cm beschränken kann)–in diesem Intervall kann jede denkbare Zahl mit beliebig vielen Nachkommastellen als Ausprägung vorkommen – zum Beispiel 178,42525342…cm.

Einen Sonderfall bilden sogenannte quasi-stetige Daten, die zwar theoretisch stetig sind, aber nur gerundet gemessen werden, wie z.B. das Nettoeinkommen, das auf Cent gerundet wird. Sie werden aber in fast allen Fällen genauso wie stetige Daten behandelt.

Außerdem trifft man ab und zu auf stetig klassierte Daten, also Daten, die in Rohform eigentlich stetig sind, aber in Gruppen zusammengefasst wurden. Das kann z.B. aus Anonymitätsgründen passieren – In Fragebögen wird etwa fast nie nach dem genauen Einkommen in Euro gefragt, sondern immer eine Auswahlliste gegeben, die z.B. so aussieht:

• bis 800 Euro
• 801 bis 1500 Euro
• 1501 bis 2500 Euro
• über 2500 Euro

Die Klassen müssen nicht gleich breit sein, aber sie dürfen sich natürlich nicht überlappen.

Skalentypen

Eine weitere Möglichkeit der Unterscheidung kann man anhand der Skala vornehmen. Dabei unterscheidet man die Art und Anzahl der Werte, die eine Variable annehmen kann.

Nominalskalierte Merkmale haben nur eine endliche Menge von Ausprägungen und können nicht nach irgendeiner Rangfolge geordnet werden. Ein Beispiel ist bei einer Prüfung von Autos das Merkmal „Farbe“. Statistische Software wie SPSS ordnet den einzelnen Ausprägungen zwar Zahlen zu, aber man kann nicht sagen, dass die Zahl 2 (also etwa die Farbe „blau“) besser sei als die Zahl 1 (etwa „rot“).

Ordinalskalierte Daten haben–wie Nominaldaten auch–nur eine endliche Zahl von möglichen Ausprägungen. Allerdings können sie in eine natürliche Rangfolge gebracht werden. Meistens sind dies Antworten in einem Test, die auf einer Skala wie etwa trifft sehr zu / trifft eher zu / trifft eher nicht zu / trifft nicht zu gegeben werden. Man kann hier allerdings keine Abstände zwischen den einzelnen Ausprägungen interpretieren, sondern nur sagen, dass eine Ausprägung größer als die andere ist.

Intervallskalierte Daten können unendlich viele Ausprägungen annehmen. Meist handelt es sich um die reellen Zahlen. Auf einer Intervallskala kann man Abstände, also Differenzen bilden, allerdings hat diese Skala keinen Nullpunkt. Und ohne Nullpunkt kann man keine Verhältnisse bilden. Typisches Beispiel für diese Skala ist unsere Temperaturskala in Grad Celsius. Man kann Differenzen bilden („morgen wird es 10 Grad kälter als heute“), aber keine Verhältnisse („morgen wird es doppelt so kalt wie heute“). Wenn es heute null Grad hat, wie kalt ist dann „doppelt so kalt“?

Verhältnisskalierte Daten haben im Unterschied zur Intervallskala einen absoluten Nullpunkt. Diesen Nullpunkt gibt es bei der Temperatur in Celsius oder dem Intelligenzquotienten nämlich nicht, daher kann man dort nicht sinnvoll sagen, es sei „doppelt so heiß“ wie gestern, oder jemand ist „doppelt so klug“ wie jemand anderes.

Bei der Verhältnisskala gibt es nun so einen Nullpunkt. Die meisten stetigen Daten sind verhältnisskaliert, da es dort eine Null gibt. Beispiele hierfür sind das Einkommen, Zeiten, Längen bzw. Größen, uvm. Mit solchen Daten kann man nun wirkliche Verhältnisse bilden, also „doppelt so lang“ oder „ein doppelt so hohes Einkommen“ sagen.

Beispielaufgabe

Entscheide für die folgenden Merkmale, ob sie stetig oder diskret sind, und ordne sie der entsprechenden Skala (Nominal-, ordinal-, intervall- oder verhältnisskaliert) zu.

a) Buchbewertungen auf einer Webseite, 0 bis 5 Sterne
b) Intelligenzquotient
c) Farbe eines Autos
d) Alter in Jahren
e) Anteil schwarzer Autos (in %), die an einem Tag über eine Kreuzung fahren
f) Blutgruppe (A, B, AB, oder 0)
g) Kleidergröße (S, M, L, XL)
h) Jahreszahlen auf einem Kalender
i) Produzierte Menge Kaffee in Südamerika pro Jahr

Wenn man Daten erhebt und sie auswerten möchte, dann gibt es drei grundlegende Begriffe, deren Unterschiede man genau kennen muss: Grundgesamtheit, Stichprobe, und Merkmale. Wir schauen uns diese drei Begriffe hier genauer an, und erklären sie anhand eines Beispiels: Es soll bei ein paar ausgewählten Klassen von Grundschülern ein Test in Mathematik, und ein Wortschatztest durchgeführt werden. Ziel der Analyse ist es, Informationen über die Mathematik- und Wortschatzkenntnisse aller Grundschüler aus München zu erfahren.

Man interessiert sich also für die Mathematikkenntnisse und den Wortschatz in einer Grundgesamtheit–hier sind das alle Münchner Viertklässler. Da man jedoch (z.B. aus finanziellen Gründen) nicht alle Schüler befragen kann, zieht man eine Stichprobe von drei Klassen aus drei verschiedenen Schulen und testet nur 90 Schüler. Jeder dieser Schüler bildet eine statistische Einheit (oft auch Beobachtung genannt). Die interessierenden Merkmale sind Mathematikkenntnisse und Wortschatz, die z.B. durch einen Score auf einer Skala von 0 bis 100 gemessen werden. Die Merkmalsausprägung ist dann ein bestimmter Wert auf dieser Skala–für einen Schüler und ein Merkmal, z.B. den Wortschatz beim dritten befragten Schüler.

Die folgende Tabelle fasst die Unterschiede nocheinmal zusammen: